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當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年山東省青島大學(xué)附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿(mǎn)著魅力．千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．
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【小試牛刀】
把兩個(gè)全等的直角△ABC和△DAE如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a,b,c.顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請(qǐng)用a,b,c分別表示出梯形ABCD，四邊形AECD，△EBC的面積：S_梯形ABCD=

a（a+b）

，S_△EBC=

b（a-b）

，S_{四邊形AECD}=

c²

．
再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，它們滿(mǎn)足的關(guān)系式為

a（a+b）=

b（a-b）+

c²

a（a+b）=

b（a-b）+

c²

，化簡(jiǎn)后，可得到勾股定理．
【知識(shí)運(yùn)用】
如圖2，河道上A，B兩點(diǎn)（看作直線(xiàn)上的兩點(diǎn)）相距150米，C，D為兩個(gè)菜園（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A，B，AD=50米，BC=30米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在AB上確定一個(gè)抽水點(diǎn)P，使得抽水點(diǎn)P到兩個(gè)菜園C，D的距離和最短，則該最短距離為

170

米．
【知識(shí)遷移】
借助上面的思考過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)0＜x＜40時(shí)，代數(shù)式

（

）

的最小值=

．

【考點(diǎn)】四邊形綜合題．

【答案】

a（a+b）；

b（a-b）；

c²；

a（a+b）=

b（a-b）+

c²；170；41

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。

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發(fā)布：2024/10/10 21:0:1組卷：129引用：1難度：0.1

相似題

1．如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，AB、AD所在直線(xiàn)為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．正方形ABCD的邊長(zhǎng)是方程x²-8x+16=0的根．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC-CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，沿EB-BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，△APQ的面積為S．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)△AQP是以AP為底邊的等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
發(fā)布：2024/10/11 2:0:4組卷：62引用：2難度：0.1
解析
2．已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D'，∠BAD=∠B'A'D'，起始位置點(diǎn)A在邊A'B'上，點(diǎn)B在A'B'所在直線(xiàn)上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)B'在點(diǎn)A′的右側(cè)，連接AC和A'C′；將菱形ABCD以A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°）．
（1）如圖1，若點(diǎn)A與A′重合，且∠BAD=∠B'A′D'=90°，求證：BB'=DD′．
（2）若點(diǎn)A與A′不重合，M是A'C'上一點(diǎn)，當(dāng)MA′=MA時(shí)，連接BM和A'C，BM和A'C所在直線(xiàn)相交于點(diǎn)P；
①如圖2，當(dāng)∠BAD=∠B'A'D'=90°時(shí)，請(qǐng)求出線(xiàn)段BM和線(xiàn)段A'C的數(shù)量關(guān)系及∠BPC的度數(shù)；
②如圖3，當(dāng)∠BAD=∠BA'D'=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BM和線(xiàn)段A'C的數(shù)量關(guān)系及∠BPC的度數(shù)．
發(fā)布：2024/10/10 13:0:2組卷：44引用：1難度：0.1
解析
3．問(wèn)題背景：在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用方法，如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，連接EF，探究線(xiàn)段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）探究發(fā)現(xiàn)：小明同學(xué)的方法是將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，然后證明△AGF≌△AEF，從而得出結(jié)論：
．
（2）拓展延伸：如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=
1
2
∠BAD，連接EF．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）嘗試應(yīng)用：
如圖③，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，連接EF，已知BE=3，DF=2，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．
發(fā)布：2024/10/10 15:0:1組卷：1158引用：3難度：0.2
解析

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