1．已知△ABC，AD是一條角平分線．
【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，若AD是∠BAC的角平分線．可得到結論：．
小紅的解法如下：
過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，過點A作AG⊥BC于點G，
∵AD是∠BAC的角平分線，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴．
∴=，
又∵，
∴．
【類比探究】如圖2，若AD是∠BAC的外角平分線，AD與BC的延長線交于點D．
求證：
【拓展應用】如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，BF、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線且相交于點D，，直接寫出的值是 ．

2．【問題背景】：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為BC上的動點，小熙拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點落在點P，三角板可繞P點旋轉．
【用數(shù)學的眼光觀察】：（1）如圖1，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．以下結論正確的是：
；
①△BPE≌△CFP；
②△BPE∽△CFP；
③∠BEP=∠CPF；
④；
【用數(shù)學的思維思考】：（2）將三角板繞點P旋轉到圖2情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．△BPE與△CFP相似嗎？請說明理由；
【用數(shù)學的語言表達】：
（3）在（2）的條件下，動點P運動到什么位置時，△BPE∽△PFE？說明理由．

3．某數(shù)學學習小組在學習了相似三角形以后，他們發(fā)現(xiàn)對于同一個物體在燈光下，它的影子的長度與電燈到物體的距離有一定的關系，利用物體影子的長度可以計算電燈到物體的距離，利用電燈到物體的距離也可以計算物體影子的長度．下面是他們的試驗內容，請解答：

（1）如圖①，放在水平地面上的正方形框架ABCD，在其正上方有一個小射燈P，在小射燈P的照射下，正方形框架在地面上的影子為A′B、D′C，若正方形框架的邊長為30cm,A′B=9cm,則△PAD∽△；小射燈P離地面的距離為 cm.
（2）如圖②，不改變圖①中ABCD框架和小射燈P的位置，將另一個同樣大小的小正方形框架緊貼在原小正方形框架的左邊并排擺放，即正方形ABEF．求小射燈下的影長EF'的長度．
（3）如圖③，小射燈P到地面的距離為d,一共有n個邊長為a的小正方形框架（無重疊）并排如圖擺放，影長A′B與CD'的和為 （用d、n、a表示）．?