1．【感知】
如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（不與A、B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°．易證：△DAP∽△PBC（不要求證明）．
【探究】
如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），∠A=∠B=∠DPC．
（1）求證：△DAP∽△PBC．
（2）若PD=5，PC=10，BC=9，則AP的長(zhǎng)為 ．
【應(yīng)用】
如圖3，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12．點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CP，作∠CPE=∠A，PE與邊BC交于點(diǎn)E．
（3）當(dāng)CE=3EB時(shí)，求AP的長(zhǎng)．
（4）當(dāng)△CPE是等腰三角形時(shí)，直接寫出AP的長(zhǎng)．

2．綜合與探究：已知：如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)AP=AQ時(shí)，求t的值；
（2）點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，t為何值時(shí)，以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；
（3）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C，那么是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形PQP'C為菱形？若存在，直接寫出此時(shí)t的值；若不存在，說(shuō)明理由．（不寫求解過(guò)程）

3．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．
①求證：DQ=AE；
②推斷：的值為 ；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，=m（m為常數(shù)），將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)m=時(shí)，若tan∠CGP=，GF=4，求CP的長(zhǎng)．