1．【教材呈現(xiàn)】下面是華師版教材九年級上冊52頁的部分內(nèi)容：

我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩條直線與一組平行線相交時(shí)，所截得的線段存在一定的比例關(guān)系： AD DB = FE EC ．這就是如下的基本事實(shí)： 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．（簡稱“平行線分線段成比例”）

【問題原型】如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，過E作EF∥AD交邊DC于點(diǎn)F，點(diǎn)P、Q分別在矩形的邊AD、BC上，連結(jié)PQ交EF于點(diǎn)M．
求證：PM=QM．

【結(jié)論應(yīng)用】如圖②，在【問題原型】的基礎(chǔ)上，點(diǎn)R在邊BC上（不與點(diǎn)Q重合），連結(jié)PR交EF于點(diǎn)N．
（1）若MN=4，則線段QR的長為 ；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，點(diǎn)R與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖③，若AB=6，BC=8，連結(jié)CM，則△QMC周長的最小值為 ．

2．綜合與探究：已知：如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：
（1）當(dāng)AP=AQ時(shí)，求t的值；
（2）點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，t為何值時(shí)，以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；
（3）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C，那么是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形PQP'C為菱形？若存在，直接寫出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由．（不寫求解過程）

3．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．
①求證：DQ=AE；
②推斷：的值為 ；
（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，=m（m為常數(shù)），將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)m=時(shí)，若tan∠CGP=，GF=4，求CP的長．