1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+x+m（a≠0）與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，其中點B的坐標為（0，-4），點C的坐標為（2，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點D是直線AB下方拋物線上一個動點，連接AD、BD，探究是否存在點D，使得△ABD的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點E是拋物線的對稱軸上的一點，若△ABE是直角三角形，直接寫出點E的坐標．

2．如圖，拋物線y=-x²+3x+4與x軸交于點A，點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，連接BC，點P為線段CB上一個動點（不與點C，B重合），過點P作PQ∥y軸交拋物線于點Q．
（1）直接寫出點A和點B的坐標；
（2）設P的橫坐標為t,請用含t的式子表示線段PQ的長，并求出線段PQ的最大值；
（3）已知點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N是平面直角坐標系內一點，當線段PQ取得最大值時，是否存在這樣的點M，N，使得四邊形PBMN是菱形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
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3．在2024年元旦即將到來之際，學校準備開展“冬日情暖，喜迎元旦”活動，小星同學對會場進行裝飾．如圖1所示，他在會場的兩墻AB、CD之間懸掛一條近似拋物線y=ax²-x+3的彩帶，如圖2所示，已知墻AB與CD等高，且AB、CD之間的水平距離BD為8米．?

（1）如圖2，兩墻AB，CD的高度是 米，拋物線的頂點坐標為 ；
（2）為了使彩帶的造型美觀，小星把彩帶從點M處用一根細線吊在天花板上，如圖3所示，使得點M到墻AB距離為3米，使拋物線F₁的最低點距墻AB的距離為2米，離地面2米，求點M到地面的距離；
（3）為了盡量避免人的頭部接觸到彩帶，小星現(xiàn)將M到地面的距離提升為3米，通過適當調整M的位置，使拋物線F₂對應的二次函數(shù)的二次項系數(shù)始終為，若設點M距墻AB的距離為m米，拋物線F₂的最低點到地面的距離為n米，探究n與m的關系式，當時，求m的取值范圍．