1．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式；
（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

2．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（0＜a＜1）的最小值為1，且直線y=x-與二次函數(shù)圖象的兩個交點的橫坐標(biāo)分別為2和4．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）如圖1，以點H（1，h）（h＞）為圓心，為半徑作圓，拋物線y=ax²+bx+c上僅有唯一點J，使得過點J向⊙H作切線的切線段JK長度最小，求h的取值范圍．
（3）如圖2，過定點F（1，2）的直線y=kx-k+2（k＞0）與拋物線y=ax²+bx+c交于A、B兩個不同點，與x軸交于R點，令θ=∠ARO（O為坐標(biāo)原點．
（i）判斷以A為圓心，AF為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并加以證明．
（ii）cosθ為何值時，x軸上存在點Q，使得△ABQ為等邊三角形，并求出此時△ABQ的面積．

3．定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A，B．點P為平面內(nèi)任意一點，若PA=PB，且∠APB≤120°時，稱點P為線段AB的“居中點”．特別地，當(dāng)PA=PB，且∠APB=120°時，又稱點P為線段AB的“正居中點”．拋物線y=x²-2x與x軸的正半軸交于點M．
（1）若點C是線段OM的“正居中點”，且在第一象限，則點C的坐標(biāo)為（ ，）；
（2）若點D是線段OM的“居中點”，則點D的縱坐標(biāo)d的取值范圍是 ．
（3）將射線OM繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°得到射線m,已知點E在射線m上，若在第四象限內(nèi)存在點F，點F既是線段OM的“居中點”，又是線段OE的“正居中點”，求此時點E的坐標(biāo)．