1．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

2．如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)G，使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合要求的，并在第一象限的點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）將拋物線沿其對(duì)稱(chēng)軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

3．定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．點(diǎn)P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若PA=PB，且∠APB≤120°時(shí)，稱(chēng)點(diǎn)P為線段AB的“居中點(diǎn)”．特別地，當(dāng)PA=PB，且∠APB=120°時(shí)，又稱(chēng)點(diǎn)P為線段AB的“正居中點(diǎn)”．拋物線y=x²-2x與x軸的正半軸交于點(diǎn)M．
（1）若點(diǎn)C是線段OM的“正居中點(diǎn)”，且在第一象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ，）；
（2）若點(diǎn)D是線段OM的“居中點(diǎn)”，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)d的取值范圍是 ．
（3）將射線OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到射線m,已知點(diǎn)E在射線m上，若在第四象限內(nèi)存在點(diǎn)F，點(diǎn)F既是線段OM的“居中點(diǎn)”，又是線段OE的“正居中點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．