1．甲、乙兩個(gè)含45°角的等腰直角三角尺如圖①放置，則有OD=OE，AB=AC，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處．則有OA=OB=OC，∠ABC=∠ACB=∠BAO=∠CAO=45°，現(xiàn)將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置，AB交OE于M，AC交OD于N．
（1）求證：OM=ON；
（2）如圖③所示，連接BE和AD，請(qǐng)你證明：AD=BE；
（3）延長(zhǎng)DA分別交OE，BE所在直線于點(diǎn)F，G，如圖④，猜想并證明DG與BE的位置關(guān)系．

2．如圖1，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=60°，CE⊥AB交AB于點(diǎn)E，AE=AD，點(diǎn)F在線段BD上，連接AF．
（1）若AC=4，求線段BD的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若∠DAF=60°，點(diǎn)M為線段BF的中點(diǎn)，連接CM，證明：2CM=BF+AC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，將△ADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得△AD′F′，連接BF′，點(diǎn)M為線段BF′的中點(diǎn)，連接D′M，當(dāng)D′M長(zhǎng)度取最小時(shí)，在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)N，連接MN，將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至MN′，連接D′N′，若AC=4，請(qǐng)直接寫出（2MN′-D′N′）的最小值．

3．綜合與實(shí)踐
問(wèn)題背景：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=α，點(diǎn)D在AC邊上（不與點(diǎn)A、C重合）．DE⊥AB于E，連結(jié)BD，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)．
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：（1）若α=45°，如圖1，連結(jié)CF，EF，則線段CF與EF之間的關(guān)系為 ；
探究證明：（2）如圖2，在（1）的條件下，將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，F(xiàn)為線段BD的中點(diǎn)，連結(jié)CF，探究線段AE，BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
拓展延伸：（3）如圖3，若α=30°，BC=4，，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)D，E，B三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，連結(jié)CF，請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．