1．數(shù)學模型學習與應用：
白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐李欣
模型學習：詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關鍵是利用軸對稱變換，把直線同側兩點的折線問題轉化為直線兩側的線段問題，從而解決距離和最短的一類問題，“將軍飲馬”問題的數(shù)學模型如圖1所示：在直線l上存在點P，使PA+PB的值最?。?br />作法：作A點關于直線l的對稱點A'，連接A'B，A'B與直線l的交點即為點P．此時PA+PB的值最?。?br />模型應用：
（1）如圖2，已知△ABC為等邊三角形，高AH=8cm,P為AH上一動點，D為AB的中點．
①當PD+PB的最小值時，在圖中確定點P的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）．
②則PD+PB的最小值為 cm.
模型變式：
（2）如圖3所示，某地有塊三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB內(nèi)一點，連接PO后測得PO=10米，現(xiàn)當?shù)卣谌切慰盏谹OB中修一個三角形花壇PQR，點Q，R分別是OA，OB邊上的任意一點（不與各邊頂點重合），求△PQR周長的最小值．

2．綜合與實踐
問題背景：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=α，點D在AC邊上（不與點A、C重合）．DE⊥AB于E，連結BD，F(xiàn)為線段BD的中點．
問題發(fā)現(xiàn)：（1）若α=45°，如圖1，連結CF，EF，則線段CF與EF之間的關系為 ；
探究證明：（2）如圖2，在（1）的條件下，將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉，使得D、E、B三點共線，F(xiàn)為線段BD的中點，連結CF，探究線段AE，BE，CF之間的數(shù)量關系，并證明；
拓展延伸：（3）如圖3，若α=30°，BC=4，，將△ADE繞點A順時針旋轉，當D，E，B三點共線時，F(xiàn)為BD的中點，連結CF，請直接寫出CF的長．

3．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，AD為△ABC的中線．

（1）求證：△ADC為等腰直角三角形；
（2）若P為線段DC上一動點（不與點D，C重合），以AP為直角邊作等腰直角△APE，其中∠APE=90°，點A，E在直線BC同側，連接CE，求∠ACE的度數(shù)；
（3）若P為線段DC延長線上一動點，以AP為直角邊作等腰直角△APE，其中∠APE=90°，點A，E在直線BC同側，且點A關于直線BC對稱點記為A'，求證：A'，C，E三點在同一條直線上．