1．甲、乙兩個(gè)含45°角的等腰直角三角尺如圖①放置，則有OD=OE，AB=AC，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處．則有OA=OB=OC，∠ABC=∠ACB=∠BAO=∠CAO=45°，現(xiàn)將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置，AB交OE于M，AC交OD于N．
（1）求證：OM=ON；
（2）如圖③所示，連接BE和AD，請(qǐng)你證明：AD=BE；
（3）延長(zhǎng)DA分別交OE，BE所在直線于點(diǎn)F，G，如圖④，猜想并證明DG與BE的位置關(guān)系．

2．數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用：
白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐李欣
模型學(xué)習(xí)：詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們稱之為“將軍飲馬”問(wèn)題．關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱變換，把直線同側(cè)兩點(diǎn)的折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的線段問(wèn)題，從而解決距離和最短的一類問(wèn)題，“將軍飲馬”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如圖1所示：在直線l上存在點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。?br />作法：作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，A'B與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．此時(shí)PA+PB的值最小．
模型應(yīng)用：
（1）如圖2，已知△ABC為等邊三角形，高AH=8cm,P為AH上一動(dòng)點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)．
①當(dāng)PD+PB的最小值時(shí)，在圖中確定點(diǎn)P的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）．
②則PD+PB的最小值為 cm.
模型變式：
（2）如圖3所示，某地有塊三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB內(nèi)一點(diǎn)，連接PO后測(cè)得PO=10米，現(xiàn)當(dāng)?shù)卣谌切慰盏谹OB中修一個(gè)三角形花壇PQR，點(diǎn)Q，R分別是OA，OB邊上的任意一點(diǎn)（不與各邊頂點(diǎn)重合），求△PQR周長(zhǎng)的最小值．

3．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，AD為△ABC的中線．

（1）求證：△ADC為等腰直角三角形；
（2）若P為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D，C重合），以AP為直角邊作等腰直角△APE，其中∠APE=90°，點(diǎn)A，E在直線BC同側(cè)，連接CE，求∠ACE的度數(shù)；
（3）若P為線段DC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為直角邊作等腰直角△APE，其中∠APE=90°，點(diǎn)A，E在直線BC同側(cè)，且點(diǎn)A關(guān)于直線BC對(duì)稱點(diǎn)記為A'，求證：A'，C，E三點(diǎn)在同一條直線上．