1．對任意的x≠0的函數(shù)f（x）滿足對任意的a,b都有f（ab）=f（a）+f（b），且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）對任意的0＜t＜1都有不等式f（t-t²）-f（k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

2．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）-4（x,y∈R），當x≠y時，[f（x）-f（y）]（x-y）＞0成立，且f（2）=6．
（1）求f（0），判斷函數(shù)g（x）=f（x）-4的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）當x∈[0，4]時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

3．已知函數(shù)f（x）對任意x,y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1成立，且f（3）=2024．
（1）分別求f（0）和f（-3）的值；
（2）判斷并證明函數(shù)F（x）=f（x）+1的奇偶性．