1．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy橫軸下方一矩形區(qū)域及橫軸上方一半圓形（圓心在x軸上）區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出）。點(diǎn)P（a,0）處的粒子源沿與x軸負(fù)方向成α=30°角斜向下發(fā)射一帶電荷量為-q、質(zhì)量為m、速率為v₀的粒子，粒子經(jīng)過矩形磁場(chǎng)后，垂直橫軸經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)進(jìn)入兩極板分別為M、N的圓弧形電容器，在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的共同作用下，沿兩極板間的中心線做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并以圓周運(yùn)動(dòng)的形式回到橫軸。已知橫軸上方半圓形磁場(chǎng)區(qū)域的圓心恰好與粒子經(jīng)過矩形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心重合，圓弧形電容器的中心線對(duì)應(yīng)的圓心在P點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的圓心角為β（β＜α），不計(jì)粒子受到的重力，忽略電容器的邊緣效應(yīng)，求：
（1）矩形磁場(chǎng)區(qū)域的面積最小值；
（2）圓弧形電容器中心線處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
（3）半圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑R_min。

2．在芯片制造過程中，離子注入是其中一道重要的工序。為了準(zhǔn)確的注入離子，需要在一個(gè)有限空間中用電磁場(chǎng)對(duì)離子的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行調(diào)控。現(xiàn)在，我們來研究一個(gè)類似的模型。在空間內(nèi)存在邊長(zhǎng)L=0.64m的立方體OACD-O'A'C'D'，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿OA、OO'和OD方向分別建立x、y、z軸。在OACD面的中心M處存在一粒子發(fā)射源，可在底面內(nèi)沿任意方向發(fā)射初速度為，比荷的帶正電粒子（不計(jì)重力）?？稍趨^(qū)域內(nèi)施加一定的勻強(qiáng)電場(chǎng)或者勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使粒子可以到達(dá)相應(yīng)的空間位置。
（1）在立方體內(nèi)施加沿y軸正向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使粒子不飛出立方體，求施加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值；
（2）在立方體內(nèi)施加沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，使粒子只能從O'A'C'D'面飛出，求施加電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的最小值；
（3）在立方體內(nèi)施加沿y軸正向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=4.0×10^-3T，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最大值t_max和最小值t_min；
（4）在（3）問的基礎(chǔ)上再加上沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E=4.0×10²N/C。問（3）中最大時(shí)間和最小時(shí)間對(duì)應(yīng)的粒子能否從O'A'C'D'面飛出？若粒子不能從O'A'C'D'面飛出，請(qǐng)寫出這些粒子飛出立方體區(qū)域時(shí)的空間坐標(biāo)（x,y,z）。

3．如圖甲所示，是某種粒子分析器的結(jié)構(gòu)原理圖，底面半徑為R的圓柱形空間內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O₁、O₂是圓柱形空間的上、下底面的圓心，其后側(cè)與O₁等高處有一個(gè)長(zhǎng)度為R的水平線狀粒子發(fā)射源MN，圖乙是俯視圖，P為MN的中點(diǎn)，O₁P連線與MN垂直，O₁P=。線狀粒子源能以相同速度沿平行PO₁方向持續(xù)發(fā)射質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶正電粒子束。在O₁O₂右側(cè)2R處豎直放置一個(gè)足夠大的矩形熒光屏，熒光屏的AB邊與線狀粒子源MN垂直，且處在同一高度。過O₁作AB邊的垂線，交點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn)O。熒光屏的左側(cè)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，寬度為R，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E。已知從P點(diǎn)射出的粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好從F點(diǎn)（圓柱形空間與電場(chǎng)邊界相切處）射入電場(chǎng)。以AB邊的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿AB向里為x軸，垂直AB邊向下為y軸建立坐標(biāo)系，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用。求：
（1）帶電粒子的初速度大小；
（2）帶電粒子從粒子源MN射出到打在熒光屏上的最長(zhǎng)時(shí)間；
（3）從M點(diǎn)射出的粒子打在熒光屏上的位置坐標(biāo)；
（4）猜想帶電粒子打到熒光屏上形成圖像的形狀，并證明你的猜想。