當(dāng)前位置： 2022-2023學(xué)年上海師大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨立的，且每個學(xué)生在每天的晚自習(xí)時間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1．
（1）將每天的晚自習(xí)時間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為X，求X的期望和方差；
（2）18世紀30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n比較大時，二項分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機變量Y～N（μ，σ²），令
Z
=
Y
-
μ
σ
，則Z～N（0，1）．當(dāng)Z～N（0，1）時，對于任意實數(shù)a,記Φ（a）=P（Z＜a）．已知下表為標準正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標準正態(tài)分布N（0，1）對應(yīng)的概率值．例如當(dāng)a=0.16時，由于0.16=0.1+0.06，則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是Φ（0.16）的值．

a 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

①求在晚自習(xí)時間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習(xí)時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個座位？

【考點】二項分布的均值（數(shù)學(xué)期望）與方差．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/5/27 8:0:10組卷：49引用：1難度：0.6

相似題

1．高爾頓板又稱豆機、梅花機等，是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型．如圖所示的高爾頓板為一塊木板自上而下釘著6層圓柱形小木塊，最頂層有2個小木塊，以下各層小木塊的個數(shù)依次遞增，各層小木塊互相平行但相互錯開，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊透明玻璃．讓小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或者向右滾下，最后落入高爾頓板下方從左至右編號為1，2，…，6的球槽內(nèi)．
（1）某商店將該高爾頓板改良成游戲機，針對某商品推出促銷活動．凡是入店購買該商品一件，就可以獲得一次游戲機會．若小球落入X號球槽，該商品可立減Y元，其中Y=|20-5X|．若該商品的成本價是10元，從期望的角度考慮，為保證該商品總體能盈利，求該商品的最低定價．（結(jié)果取整數(shù)）
（2）將79個小球依次從高爾頓板上方的通道口落下，試問3號球槽中落入多少個小球的概率最大？
附：設(shè)隨機變量ξ～B（n,p），則ξ的分布列為
P
（
ξ
=
k
）
=
C
k
n
p
k
（
1
-
p
）
n
-
k
，k=0，1，2，?，n.
P
（
ξ
=
k
）
P
（
ξ
=
k
-
1
）
=
C
k
n
p
k
（
1
-
p
）
n
-
k
C
k
-
1
n
p
k
-
1
（
1
-
p
）
n
-
k
+
1
=
1
+
（
n
+
1
）
p
-
k
k
（
1
-
p
）
．
發(fā)布：2024/7/16 8:0:9組卷：81引用：5難度：0.5
解析
2．下列關(guān)于隨機變量X的四種說法中，正確的編號是（　?。?br />①若X服從二項分布
B
（
4
，
1
3
）
，則
E
（
X
）
=
4
3
；
②若從3男2女共5名學(xué)生干部中隨機選取3名學(xué)生干部，記選出女學(xué)生干部的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，且E（X）=1.2；
③若X的方差為D（X），則D（2X-3）=2D（X）-3；
④已知
P
（
B
|
A
）
=
1
2
，
P
（
AB
）
=
3
8
，則
P
（
A
）
=
3
16
．
A．②③ B．①③ C．①② D．①④
發(fā)布：2024/7/18 8:0:9組卷：147引用：2難度：0.5
解析
3．已知隨機變量X～B（n,p），且數(shù)學(xué)期望E（X）=2，方差
D
（
X
）
=
2
3
，則P（X=2）=（　?。?/h2>
A．
1
9
B．
2
9
C．
4
9
D．
2
3
發(fā)布：2024/8/28 11:0:12組卷：140引用：4難度：0.7
解析

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a	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6404	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224

3．已知隨機變量X～B（n,p），且數(shù)學(xué)期望E（X）=2，方差D（X）=23，則P（X=2）=（ ?。?/h2>

3．已知隨機變量X～B（n,p），且數(shù)學(xué)期望E（X）=2，方差
D
（
X
）
=
2
3
，則P（X=2）=（　?。?/h2>