1．某數學活動小組在一次活動中，對一個數學問題做了如下研究：

【問題發(fā)現】
（1）如圖①，在等邊三角形ABC中，點M是BC邊上任意一點，連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ABC和∠ACN的數量關系為多少？
【變式探究】
（2）如圖②，在等腰三角形ABC中，AB=BC，點M是BC邊上任意一點（不含端點B，C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠AMN=∠ABC，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由；
【解決問題】
（3）如圖③，在正方形ADBC中，點M為BC邊上一點，以AM為邊作正方形AMEF，點N為正方形AMEF的中心，連接CN，AB，AE，若正方形ADBC的邊長為8，，求正方形AMEF的邊長．

2．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=BC=12cm,AD=10cm.點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度沿AB向點B勻速運動．設運動時間為t（s）．
（1）如圖①，連接BD、CP，當BD⊥CP時，求t的值；
（2）如圖②，當點P開始運動時，點Q同時從點C出發(fā)，以acm/s的速度沿CB向點B勻速運動，當P、Q兩點中有一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．當△ADP與△BQP全等時，求a和t的值；
（3）如圖③，當（2）中的點Q開始運動時，點M同時從點D出發(fā)，以1.5cm/s的速度沿DA向點A運動，連接CM，交DQ于點E．連接AE，當MD=AD時，S_△ADE=S_△CDE，請求出此時a的值．

3．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，點Q為線段AP的中點，過點P向上作PM⊥AB，且PM=3AQ，以PQ、PM為邊作矩形PQNM．設點P的運動時間為t秒．
（1）線段MP的長為（用含t的代數式表示）．
（2）當線段MN與邊BC有公共點時，求t的取值范圍．
（3）當點N在△ABC內部時，設矩形PQNM與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數關系式．
（4）當點M到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時，直接寫出此時t的值．