1．已知△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰Rt△PCQ，∠PCQ=90°．探究并解決下列問題：
（1）如圖1，若點P在線段AB上，且AC=1+，PA=，求線段PC的長．
（2）如圖2，若點P在AB的延長線上，猜想PA²、PB²、PC²之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）若動點P滿足，則的值為 ．

2．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC邊上一點．

（1）如圖1，∠ACB的角平分線交AD于E，連接BE．求證：AE=BE；
（2）如圖2，點E在線段AD的延長線上，∠AEC=45°，求證：BE⊥AE；
（3）如圖3，點E在線段AD上，∠BED=30°，BE=2AE，求∠AEC的度數(shù)．

3．在平面直角坐標系xOy中，點P，Q分別在線段OA，OB上．如果存在點M使得MP=MQ，∠MPQ=∠AOB（點M，P，Q逆時針排列），則稱點M是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點”．

如圖1，點M是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點”．
（1）如圖2，已知點A（4，4），B（8，0），點P與點A重合．
①當點Q是線段OB中點時，在M₁（4，2），M₂（6，2）中，其中是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點”的是 ；
②已知點M（8，4）是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點”，則點Q的坐標是 ．
（2）如圖3，已知OA=OB=4，∠AOB=60°．
①當點P與點A重合，點Q在線段OB上運動時（點Q不與點O重合），若點M是線段PQ的“關(guān)聯(lián)點”，求證：BM∥OA；
②當點P，Q分別在線段OA，OB上運動時，直接寫出線段PQ的“關(guān)聯(lián)點”M形成的區(qū)域的周長．