1．已知ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁是單位正六棱柱（即所有的棱長都是1，如圖所示），黑、白兩個(gè)螞蟻同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”．黑螞蟻爬行的路線是AA₁→A₁F₁→…，白螞蟻爬行的路線是AB→BB₁→…．它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段與第i段所在的直線必須是異面直線（其中i是正整數(shù)）．設(shè)黑、白兩螞蟻?zhàn)咄?023段后各停留在正六棱柱的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑、白兩螞蟻的距離是 ．

2．如圖，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，若A₁A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，A₁C₁=1，N為AB中點(diǎn)，M為棱BC上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．
（1）若M為BC的中點(diǎn)，求：A₁到直線C₁M的距離．
（2）是否存在點(diǎn)M，使得平面C₁MA與平面ACC₁A₁所成角的余弦值為？若存在，求出BM長度；若不存在，請說明理由．

3．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線AC₁與平面ABCD所成的角為45°，若AB=BC=1，則平面ABCD和A₁B₁C₁D₁之間的距離為 ．