1．綜合與實踐--探究特殊三角形中的相關(guān)問題
問題情境：
某校學習小組在探究學習過程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P．

（1）初步探究：
勤思小組的同學提出：當旋轉(zhuǎn)角α=時，△AMC是等腰三角形；
（2）深入探究：
敏學小組的同學提出在旋轉(zhuǎn)過程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請幫他們證明；
（3）再探究：
在旋轉(zhuǎn)過程中，當旋轉(zhuǎn)角α=30°時，求△ABC與△AFE重疊的面積；
（4）拓展延伸：
在旋轉(zhuǎn)過程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說明理由．

2．已知：△ABC是等邊三角形，點E在邊AC上，點D在邊BC上，且∠AEB+∠ADB=180°，連接AD、BE相交于點G，過點B作BF⊥AD，垂足為F．

（1）證明：BE=AD；
（2）如圖1，求證：EG+2GF=AD；
（3）如圖2，△ABG和△MBG關(guān)于直線BG對稱（點A的對稱點是點M），BM與AD相交于點N，若EG：GN=1：2，AG=3，求GN的長．

3．如圖（1），已知∠DAC=90°，△ABC是等邊三角形，點P為射線AD上任意一點（點P與點A不重合），連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ，連接QB并延長交射線AD于點E，交線段CP于點F．
（1）如圖（1），猜想∠QEP=；
（2）如圖（2），若當∠DAC是銳角時，其他條件不變，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請加以證明；
若不成立，請寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖（3），若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的長．
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