1．課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了下面問題：
如圖①，AD是△ABC的中線，若AB=3，AC=5，求AD的取值范圍．
“善思小組”通過探究發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接CE，可以證出△ADB≌△EDC，利用全等三角形的性質(zhì)，可將已知的邊長(zhǎng)與AD轉(zhuǎn)化到△ACE中，進(jìn)而求出AD的取值范圍．
從上面的思路可以看出，解決問題的關(guān)鍵是將中線AD延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們把這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線法”．
請(qǐng)你利用“善思小組”的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADB≌△EDC的理由是 ；
A．SSS
B．AAS
C．HL
D．SAS
（2）求得AD的取值范圍是 ；
A.3＜AD＜5
B.3≤AD≤5
C.1＜AD＜4
D.1≤AD≤4
解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”或“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一三角形中．
根據(jù)上面解題方法的啟發(fā)，請(qǐng)你解答問題．
（3）如圖②，在△ABC中，AB＞AC，點(diǎn)D，E在BC上，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，DF∥AB交AE于點(diǎn)F，DF=AC．
求證：AE平分∠BAC．

2．探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方法，某數(shù)學(xué)興趣小組擬做以下探究．
如圖，在△ABC中，BD、CE分別是AC、AB上的高，點(diǎn)G在直線CE上，CG=AB，點(diǎn)F在直線BD上，BF=AC，F(xiàn)N⊥BC于點(diǎn)N，GM⊥BC于點(diǎn)M．探究線段BC，F(xiàn)N，GM之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，線段BC，F(xiàn)N，GM之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
“善思小組”通過探究后發(fā)現(xiàn)解決此問題的方法：過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)而得證．請(qǐng)你寫出證明過程．
下面是小強(qiáng)的部分證明過程，仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．

證明：過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P． ∴∠APB=90°． ∴∠BAP+∠ABP=90°． ∵CE⊥AB， ∴∠BCE+∠ABP=90°． ∴∠BAP=∠BCE． ∵GM⊥BC， ∴∠CMG=90°．

∴∠APB=∠CMG=90°． 在△APB和△CMG中， ∵∠BAP=∠GCM， ∠APB=∠CMG，AB=CG， ∴△APB≌△CMG（AAS）． ∴BP=GM．

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．
（2）通過類比、轉(zhuǎn)化、猜想，探究出：當(dāng)△ABC是鈍角三角形，且AB＞AC時(shí)，如圖②線段BC，F(xiàn)N，GM之間的數(shù)量關(guān)系是 ；當(dāng)△ABC是鈍角三角形，且AB＜AC時(shí)，如圖③，線段BC，F(xiàn)N，GM之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
（3）“智慧小組”繼續(xù)對(duì)上述問題進(jìn)行特殊化研究后，提出下面問題請(qǐng)你解答：
在（1）和（2）的條件下，若MN=2BC=8，CD：AD=1：3，則S_△BCD=．

3．如圖1．△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC形外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E，F(xiàn)作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．
（1）試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，若連接EF交GA的延長(zhǎng)線于H，由（1）中的結(jié)論你能判斷EH與FH的大小關(guān)系嗎？并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若BC=10，AG=12．請(qǐng)直接寫出S_△AEF=．