解答下列問題:
(1)【問題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理:如圖1,AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,點M是
的中點,則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點,即CD=DB+BA.下面是運用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程.
證明:如圖2,在CD上截取CG=AB,連接MA、MB、MC和MG.
∵M是
的中點,∴
=
,
∴MA=MC①,
又∵∠A=∠C②,
∴△MAB≌△MCG,
∴MB=MG,
又∵MD⊥BC,
∴BD=DG,
∴AB+BD=CG+DG,
即CD=DB+BA,
根據(jù)證明過程,分別寫出下列步驟的理由:
①
相等的弧所對的弦相等
相等的弧所對的弦相等
,
②
同弧所對的圓周角相等
同弧所對的圓周角相等
.
(2)【理解運用】如圖1,AB、BC是⊙O的兩條弦,AB=8,BC=12,點M是
的中點,MD⊥BC于點D,則BD的長為
2
2
.
(3)【變式探究】如圖3,若點M是
的中點,【問題呈現(xiàn)】中的其他條件不變,判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明.
(4)【實踐應(yīng)用】根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題:
如圖4,BC是⊙O的直徑,點A圓上一定點,點D圓上一動點,且滿足∠DAC=45°,若AB=12,⊙O的半徑為10,求AD長.
?