1．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，BE，點P為CD的中點．
（1）觀察猜想
圖1中，線段AP與BE的數(shù)量關系是 ，位置關系是 ；
（2）探究證明
把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，小雨猜想（1）中的結(jié)論仍然成立，請你證明小雨的猜想；
（3）拓展探究
把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請直接寫出線段AP的取值范圍．

2．在平面直角坐標系中，三角形ABO的頂點A（0，12），B（-5，0），O（0，0），將△ABO繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△ACD，點B，O的對應點分別為C，D．旋轉(zhuǎn)角記為α．
（Ⅰ）如圖1，當點C恰好落在x軸上時，點C的坐標為 （直接寫出結(jié)果）；
（Ⅱ）如圖2，當CD∥AB時（0°＜α＜180°），設直線AC，DC分別與x軸交于點E，F(xiàn)．求點E的坐標和線段CF的長；
（Ⅲ）如圖3，連接OC，取線段OC的中點M，連接DM，在旋轉(zhuǎn)過程中（0°＜α＜360°），直接寫出線段DM的取值范圍．

3．“做數(shù)學”可以幫助我們積累數(shù)學活動經(jīng)驗．
【初步感知】數(shù)學課上，同學們用△ABC紙片進行折紙操作．
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如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28°，AB=5．將△ABC沿著DE翻折，使點A落在AB邊上的A處，且AE=2，則A′B=，∠DA′B=°．
【方法探索】折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法．
小明遇到這樣一個問題：如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．∠A=60°，CD平分∠ACB，求證：BC=AC+AD．小明的思路如下：如圖③，將△ACD 沿CD翻折，使點A落在BC邊上的E處，連接DE，…?
（1）請完成小明的證明過程；
（2）如圖④，CD是AB邊上的高線，其他條件不變，請你用剛剛獲得的方法探索AC、AD、DB之間的數(shù)量關系，并直接寫出它們之間的數(shù)量關系 ．
【思維拓展】
如圖⑤，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D、E是邊AB上的點，連接CD、CE，先將邊AC沿CD折疊，使點A的對稱點A′落在邊AB上：再將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點B′落在CA的延長線上，則線段B′E的長為 ．
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