1．如下表，從左邊第1個(gè)格子開(kāi)始依次在每個(gè)格子中填入一個(gè)正整數(shù)，第1個(gè)格子填入a₁，第2個(gè)格子填入a₂，第3個(gè)格子填入a₃，…，第n個(gè)格子填入a_n，以此類(lèi)推，表中任意4個(gè)相鄰格子中所填正整數(shù)之和都相等，其中a₁=1，a₂=3．

a1

a2

a3

a4

…

an

…

（1）若a₃=5，a₄=7，則a₅=；a₂₀₂₂=；
（2）若a₃+a₄=8，求表中前100個(gè)數(shù)的和；
（3）將表中前2022個(gè)數(shù)的和記為S，若|3-a₇-a₈|=8，求S的值．

2．研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？
①1³=1²
②1³+2³=3²
③1³+2³+3³=6²
④1³+2³+3³+4³=10²
⑤1³+2³+3³+4³+5³=15²…
（1）根據(jù)以上算式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出第⑥個(gè)算式；
（2）用含n（n為正整數(shù)）的式子表示第n個(gè)算式；
（3）請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算：7³+8³+9³+…+20³．

3．閱讀下列材料：對(duì)于排好順序的三個(gè)數(shù)：x₁，x₂，x₃稱(chēng)為數(shù)列x₁，x₂，x₃．將這個(gè)數(shù)列如下式進(jìn)行計(jì)算：x₁，x₁-x₂，x₁-x₂+x₃，所得的三個(gè)新數(shù)中，最大的那個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列x₁，x₂，x₃的“理想數(shù)值”．例如：對(duì)于數(shù)列1，-2，3，因?yàn)?，1-（-2）=3，1-（-2）+3=6，所以數(shù)列1，-2，3的“理想數(shù)值為6，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)改變這三個(gè)數(shù)的順序時(shí)，所得的數(shù)列都可以按照上述方法求出“理想數(shù)值”，如：數(shù)列-2，1，3的“理想數(shù)值”為0……而對(duì)于“1，-2，3”這三個(gè)數(shù)，按照不同的排列順序得到的不同數(shù)列中，“理想數(shù)值”的最大值為6．
（1）數(shù)列-5，4，-3的“理想數(shù)值”為 ；
（2）將-5，4，-3這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)不同的數(shù)列，這些數(shù)列的“理想數(shù)值”的最大值是 ，取得“理想數(shù)值”的最大值的數(shù)列是 ；
（3）將“-1，7，a（a＜0）”這三個(gè)數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個(gè)不同的數(shù)列，這些數(shù)列的“理想數(shù)值”的最大值是10，求a的值，并寫(xiě)出取得“理想數(shù)值”最大值的數(shù)列．