材料1．類比是獲取數(shù)學(xué)知識的重要思想之一，很多優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)論就是利用類比思想獲得的．例如：若a＞0，b＞0，則
a
+
b
2
≥
ab
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號，我們稱為二元均值不等式．類比二元均值不等式得到三元均值不等式：a＞0，b＞0，c＞0，則
a
+
b
+
c
3
≥
3
abc
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，取等號．我們經(jīng)常用它們求相關(guān)代數(shù)式或幾何問題的最值，某同學(xué)做下面幾何問題就是用三元均值不等式圓滿完成解答的．
題：將邊長為12cm的正方形硬紙片（如圖1）的四個角裁去四個相同的小正方形后，折成如圖2的無蓋長方體小紙盒，求紙盒容積的最大值．

解：設(shè)截去的小正方形的邊長為x（0＜x＜6），則紙盒容積V=（12-2x）²x=
1
4
（
12
-
2
x
）
（
12
-
2
x
）
（
4
x
）
≤
1
4
（
12
-
2
x
+
12
-
2
x
+
4
x
3
）
3
=128．
當(dāng)且僅當(dāng)12-2x=12-2x=4x,即x=2時取等號．所以紙金的容積取得最大值128cm³．在求V的最大值中，用均值不等式求最值時，遵循“一正二定三相等”的規(guī)則．你也可以將V=（12-2x）²x變形為V=（12-2x）²x=2（6-x）（6-x）（2x）求解．
你還可以設(shè)紙盒的底面邊長為a,高為b,則a+2b=12，則紙盒容積V=a²b=
1
4
aa
（
4
b
）
≤
1
4
（
a
+
a
+
4
b
3
）
3
=
1
4
×
（
2
（
a
+
2
b
）
3
）
3
=
1
4
×
（
2
×
12
3
）
3
=128．
當(dāng)且僅當(dāng)a=a=4b,即a=8，b=2時取等號，所以紙盒的容積取得最大值128cm³．
材料2．《數(shù)學(xué)必修二》第八章8.3節(jié)習(xí)題8.3設(shè)置了如下第4題：
如圖1，圓錐的底面直徑和高均為a,過PO的中點(diǎn)O₁作平行于底面的截面，以該截面為底的面挖去一個圓柱，求剩下幾何體的表面積和體積．我們稱圓柱為圓錐的內(nèi)接圓柱．
根據(jù)材料1與材料2完成下列問題．
如圖2，底面直徑和高均為6cm的圓錐有一個底面半徑為R，高為H的內(nèi)接圓柱．

（1）求R與H的關(guān)系式；
（2）求圓柱側(cè)面積的最大值；
（3）求圓柱體積的最大值．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評】

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發(fā)布：2024/5/25 8:0:9組卷：52引用：2難度：0.5

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2．如圖，平面PCBM⊥平面ABC，∠PCB=90°，PM∥BC，直線AM與直線PC所成的角為60°，又AC=1，BC=2PM=2，∠ACB=90°．（Ⅰ）求證：AC⊥BM；（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大??；（Ⅲ）求多面體PMABC的體積．