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設M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判斷函數(shù)
f
（
x
）
=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m,n]?D，都存在x0∈[m,n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質證明：方程f（x）-x=0只有一個實數(shù)根；
（Ⅲ）設x1是方程f（x）-x=0的實數(shù)根，求證：對于f（x）定義域中任意的x2、x3，當|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時，|f（x3）-f（x2）|＜2．

【考點】不等式的證明．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布。
發(fā)布：2024/8/11 9:0:1組卷：520引用：10難度：0.5
相似題

  • 1．若實數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠離m.
    （1）若x2-1比1遠離0，求x的取值范圍；
    （2）對任意正數(shù)a,b,證明：（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≥8a3b3；
    （3）對任意兩個不相等的正數(shù)a,b,證明：a3+b3比a2b+ab2遠離
    2
    ab
    ab
    ．

    發(fā)布：2024/10/10 0:0:4組卷：19引用：1難度：0.4

  • 2．我們知道，
    （
    a
    +
    b
    2
    ）
    2
    ≤
    a
    2
    +
    b
    2
    2
    ，當且僅當a=b時等號成立．即a,b的算術平均數(shù)的平方不大于a,b平方的算術平均數(shù)．此結論可以推廣到三元，即
    （
    a
    +
    b
    +
    c
    3
    ）
    2
    ≤
    a
    2
    +
    b
    2
    +
    c
    2
    3
    ，當且僅當a=b=c時等號成立．
    （1）證明：
    （
    a
    +
    b
    +
    c
    3
    ）
    2
    ≤
    a
    2
    +
    b
    2
    +
    c
    2
    3
    ，當且僅當a=b=c時等號成立．
    （2）已知x＞0，y＞0，z＞0，若不等式
    x
    +
    y
    +
    z
    ≤
    t
    x
    +
    y
    +
    z
    恒成立，利用（1）中的不等式，求實數(shù)t的最小值．

    發(fā)布：2024/10/12 1:0:1組卷：14引用：2難度：0.4

  • 3．已知a、b、c為實數(shù)，3a=4b=6c（abc≠0）．
    （1）求證：
    2
    a
    +
    1
    b
    =
    2
    c
    ；
    （2）若不等式
    m
    2
    +
    2
    ≤
    a
    +
    b
    c
    ，對任意實數(shù)a、b、c均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

    發(fā)布：2024/10/9 12:0:1組卷：11引用：1難度：0.4
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