當前位置： 2022-2023學年湖南省邵陽市邵東四中高一（下）期中數(shù)學試卷> 試題詳情

設(shè)f（x）=sinxcosx-cos²（x+
π
4
）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若f（
A
2
）=0，a=1，求△ABC面積的最大值．

【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性；兩角和與差的三角函數(shù)；余弦定理．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：9961引用：59難度：0.5

相似題

1．函數(shù)
f
（
x
）
=
ln
（
3
cosx
-
sinx
）
的定義域為
．
發(fā)布：2024/11/4 8:0:2組卷：42引用：2難度：0.7
解析
2．求函數(shù)y=
lo
g
3
sinx
的定義域．
發(fā)布：2024/11/4 8:0:2組卷：12引用：0難度：0.9
解析
3．定義函數(shù)f（x）=cos（sinx）為“正余弦”函數(shù)．結(jié)合學過的相關(guān)知識，我們可以得到該函數(shù)的性質(zhì)：
1．我們知道，正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的定義域均為R，故函數(shù)f（x）=cos（sinx）的定義域為R．
2．我們知道，正弦函數(shù)y=sinx為奇函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosx為偶函數(shù)，對f（x）=cos（sinx），f（-x）=cos[sin（-x）]=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x），可得：函數(shù)f（x）=cos（sinx）為偶函數(shù)．
3．我們知道，正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的最小正周期均為2π，對f（x）=cos（sinx），f（x+2π）=cos[sin（x+2π）]=cos（sinx）=f（x），可知2π為該函數(shù)的周期，是否是最小正周期呢？我們繼續(xù)探究：f（x+π）=cos[sin（x+π）]=cos（-sinx）=cos（sinx）=f（x）．
可得：π也為函數(shù)f（x）=cos（sinx）的周期．但是否為該函數(shù)的最小正周期呢？我們來研究f（x）=cos（sinx）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)性，在區(qū)間[0，π]上，余弦函數(shù)y=cosx單調(diào)遞減，正弦函數(shù)y=sinx在
[
0
，
π
2
]
上單調(diào)遞增，在
（
π
2
，
π
]
上單調(diào)遞減，故我們需要分這兩個區(qū)間來討論．
當
x
∈
[
0
，
π
2
]
時，設(shè)
0
≤
x
1
＜
x
2
≤
π
2
，因正弦函數(shù)y=sinx在
[
0
，
π
2
]
上單調(diào)遞增，故sinx₁＜sinx₂，令t₁=sinx₁，t₂=sinx₂，可得0≤t₁＜t₂≤1＜π，而在區(qū)間[0，π]上，余弦函數(shù)y=cosx單調(diào)遞減，故：cost₁＞cost₂即：cos（sinx₁）＞cos（sinx₂）從而，
x
∈
[
0
，
π
2
]
時，函數(shù)f（x）=cos（sinx）單調(diào)遞減．
同理可證，
x
∈
（
π
2
，
π
]
時，函數(shù)f（x）=cos（sinx）單調(diào)遞增．可得，函數(shù)f（x）=cos（sinx）在
[
0
，
π
2
]
上單調(diào)遞減，在
（
π
2
，
π
]
上單調(diào)遞增．結(jié)合f（x+π）=f（x）．
可以確定：f（x）=cos（sinx）的最小正周期為π．
這樣，我們可以求出該函數(shù)的值域了：
顯然：
f
（
x
）
min
=
f
（
π
2
）
=
cos
（
sin
π
2
）
=
cos
1
，而f（0）=1=f（π）
故f（x）=cos（sinx）的值域為[cos1，1]
定義函數(shù)f（x）=sin（cosx）為“余正弦”函數(shù)，根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決下列問題：
（1）求該函數(shù)的定義域；
（2）判斷該函數(shù)的奇偶性；
（3）探究該函數(shù)的單調(diào)性及最小正周期，并求其值域．
發(fā)布：2024/11/11 8:0:1組卷：76引用：1難度：0.5
解析

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設(shè)f（x）=sinxcosx-cos2（x+π4）．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若f（A2）=0，a=1，求△ABC面積的最大值．

1．函數(shù)f（x）=ln（3cosx-sinx）的定義域為．

2．求函數(shù)y=log3sinx的定義域．

設(shè)f（x）=sinxcosx-cos²（x+
π
4
）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若f（
A
2
）=0，a=1，求△ABC面積的最大值．

1．函數(shù)
f
（
x
）
=
ln
（
3
cosx
-
sinx
）
的定義域為
．

2．求函數(shù)y=
lo
g
3
sinx
的定義域．