2010年河南高三備考套數(shù)學(xué)壓軸題試卷

一、解答題

• 1．已知a∈R，函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  a

  x

  +

  lnx

  -

  1

  ，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
  （1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
  （2）是否存在實數(shù)x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：410引用：44難度：0.5

  解析
• 2．已知線段

  CD

  =

  2

  3

  ，CD的中點為O，動點A滿足AC+AD=2a（a為正常數(shù)）．
  （1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求動點A所在的曲線方程；
  （2）若a=2，動點B滿足BC+BD=4，且OA⊥OB，試求△AOB面積的最大值和最小值．
  組卷：29引用：6難度：0.5

  解析
• 3．函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  1

  -

  x

  （

  0

  ＜

  x

  ＜

  1

  ）

  的反函數(shù)為f^-1（x），數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：

  a

  1

  =

  1

  2

  ，a_n+1=f^-1（a_n），函數(shù)y=f^-1（x）的圖象在點（n,f^-1（n））（n∈N^*）處的切線在y軸上的截距為b_n．
  （1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
  （2）若數(shù)列

  {

  b

  n

  a

  2

  n

  -

  λ

  a

  n

  }

  ；的項中僅

  b

  5

  a

  2

  5

  -

  λ

  a

  5

  最小，求λ的取值范圍；
  （3）令函數(shù)

  g

  （

  x

  ）

  =

  [

  f

  -

  1

  （

  x

  ）

  +

  f

  （

  x

  ）

  ]

  -

  1

  -

  x

  2

  1

  +

  x

  2

  ，0＜x＜1．?dāng)?shù)列{x_n}滿足：

  x

  1

  =

  1

  2

  ，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．證明：

  （

  x

  1

  -

  x

  2

  ）

  2

  x

  1

  x

  2

  +

  （

  x

  2

  -

  x

  3

  ）

  2

  x

  2

  x

  3

  +

  …

  +

  （

  x

  n

  +

  1

  -

  x

  n

  ）

  2

  x

  n

  x

  n

  +

  1

  ＜

  2

  +

  1

  8

  ．
  組卷：118引用：7難度：0.1

  解析
• 4．已知f（x）=ax-lnx,x∈（0，e）其中e是自然常數(shù)，a∈R．
  （1）討論a=1時，f（x）的單調(diào)性、極值；
  （2）是否存在實數(shù)a,使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．
  組卷：50引用：10難度：0.1

  解析
• 5．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  上的兩點，已知向量

  m

  =（

  x

  1

  b

  ，

  y

  1

  a

  ），

  n

  =（

  x

  2

  b

  ，

  y

  2

  a

  ），若

  m

  ?

  n

  =0且橢圓的離心率e=

  3

  2

  ，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點．
  （Ⅰ）求橢圓的方程；
  （Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
  組卷：235引用：15難度：0.5

  解析
• 6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a為常數(shù)，a≠0，a≠1）．
  （Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
  （Ⅱ）設(shè)b_n=a_n²+S_n?a_n，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；
  （Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，

  c

  n

  =

  1

  a

  n

  +

  1

  -

  1

  a

  n

  +

  1

  -

  1

  ，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．求證：T_n＞2n-

  1

  2

  ．
  組卷：350引用：15難度：0.1

  解析

一、解答題

• 17．，已知y=f（x）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，對任意的實數(shù)x,y都有f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）=1，數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，

  f

  （

  lo

  g

  3

  -

  a

  n

  +

  1

  4

  ）

  f

  （

  -

  1

  -

  lo

  g

  3

  a

  n

  4

  ）

  =

  1

  （n∈N^*）．
  （1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
  （2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，試比較S_n與6n²-2的大?。?/div>
  組卷：41引用：2難度：0.5

  解析
• 18．已知拋物線C₁：y²=4x的焦點與橢圓C₂：

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  b

  =

  1

  的右焦點F₂重合，F(xiàn)₁是橢圓的左焦點．
  （1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），點C在拋物線y²=4x上運動，求△ABC重心G的軌跡方程；
  （2）若P是拋物線C₁與橢圓C₂的一個公共點，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα?cosβ的值及△PF₁F₂的面積．
  組卷：63引用：7難度：0.1

  解析