15．開普勒用二十年的時間研究第谷的行星觀測數(shù)據(jù)，分別于1609年和1619年發(fā)表了下列定律：
開普勒第一定律所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。
開普勒第二定律對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等。
開普勒第三定律所有行星軌道的半長軸a的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比都相等，即
=k,k是一個對所有行里都相同的常量。
（1）在研究行星繞太陽運動的規(guī)律時，將行星軌道簡化為一半徑為r的圓軌道
a.如圖1所示，設(shè)行星與太陽的連線在一段非常非常小的時間Δt內(nèi)，掃過的扇形面積為ΔS。求行星繞太陽運動的線速度的大小v,并結(jié)合開普勒第二定律證明行星做勻速圓周運動；（提示：扇形面積=
×半徑×弧長）
b.請結(jié)合開普勒第三定律、牛頓運動定律，證明太陽對行星的引力F與行星軌道半徑r的平方成反比。
（2）牛頓建立萬有引力定律之后，人們可以從動力學(xué)的視角，理解和解釋開普勒定律。已知太陽質(zhì)量為M
S、行星質(zhì)量為M
P、太陽和行星間距離為L、引力常量為G，不考慮其它天體的影響。
a.通常認為，太陽保持靜止不動，行星繞太陽做勻速圓周運動。請推導(dǎo)開普勒第三定律中常量k的表達式：
b.實際上太陽并非保持靜止不動，如圖2所示，太陽和行星繞二者連線上的O點做周期均為T
0的勻速圓周運動。依照此模型，開普勒第三定律形式上仍可表達為
=k′。請推導(dǎo)k′的表達式（用M
S、M
P、L、G和其它常數(shù)表示），并說明k′≈k需滿足的條件。
