滬教版（2020）必修第一冊《第五章 函數(shù)的概念、性質(zhì)及應(yīng)用》2021年單元測試卷（3）

一、填空題（本大題共有12題，滿分49分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．

• 1．函數(shù)f（x）=

  lo

  g

  2

  x

  -

  1

  的定義域?yàn)?

  ．
  組卷：3802引用：25難度：0.9

  解析

• 2．已知函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]的圖象如，給出下列四個(gè)命題：
  （1）方程f[g（x）]=0有且僅有6個(gè)根
  （2）方程g[f（x）]=0有且僅有3個(gè)根
  （3）方程f[f（x）]=0有且僅有5個(gè)根
  （4）方程g[g（x）]=0有且僅有4個(gè)根
  其中正確命題是

  ．
  組卷：517引用：18難度：0.5

  解析

• 3．已知a,b∈R且0≤a+b≤1，函數(shù)f（x）=x²+ax+b在[-

  1

  2

  ，0]上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則a-2b的取值范圍為

  ．
  組卷：366引用：3難度：0.5

  解析

• 4．已知0＜a＜1，設(shè)函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  2020

  x

  +

  1

  +

  2019

  2020

  x

  +

  1

  -

  x

  3

  ，

  x

  ∈

  [

  -

  a

  ,

  a

  ]

  的最大值為M，最小值為m,則M+m的值為

  ．
  組卷：331引用：2難度：0.6

  解析

• 5．已知函數(shù)f（x）=

  （ x + 1 ） 2 ， x ≤ 0

  | lo g 2 x | ， x ＞ 0

  ，若方程f（x）=a有四個(gè)不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則x₃?（x₁+x₂）+

  1

  x

  2

  3

  x

  4

  的取值范圍為

  ．
  組卷：101引用：4難度：0.5

  解析

• 6．函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  sinπx

  -

  x

  -

  1

  4

  x

  的零點(diǎn)為

  ．
  組卷：12引用：2難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分0分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．

• 19．我們把定義在R上，且滿足f（x+T）=af（x）（其中常數(shù)a,T滿足a≠1，a≠0，T≠0）的函數(shù)叫做似周期函數(shù)．
  （1）若某個(gè)似周期函數(shù)y=f（x）滿足T=1且圖像關(guān)于直線x=1對稱．求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
  （2）當(dāng)T=1，a=2時(shí)，某個(gè)似周期函數(shù)在0≤x＜1時(shí)的解析式為f（x）=x（1-x），求函數(shù)y=f（x），x∈[n,n+1），n∈Z的解析式；
  （3）對于確定的T＞0且0＜x≤T時(shí)，f（x）=3x+1，試研究似周期函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請說明理由．
  組卷：6引用：1難度：0.6

  解析

• 20．設(shè)f（x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，若存在x^*∈（0，1）使得f（x）在[0，x^*]上單調(diào)遞增，
  在[x^*，1]上單調(diào)遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函數(shù)，x^*為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為f（x）的含峰區(qū)間．
  （1）判斷下列函數(shù)是否為[0，1]上的單峰函數(shù)：
  ①

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  4

  x

  2

  +

  1

  ，x∈[0，1]；               ②

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  x

  2

  -

  x

  +

  1

  ，x∈[0，1]；
  ③

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo

  g

  1

  2

  （

  |

  x

  -

  1

  3

  |

  +

  1

  ）

  ，x∈[0，1]；       ④

  f

  （

  x

  ）

  =

  （

  1

  4

  -

  x

  ）

  4

  ，x∈[0，1]；
  對任意的[0，1]上的單峰函數(shù)f（x），下面研究縮短其含峰區(qū)間長度l（區(qū)間長度l等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差）；
  （2）證明：對任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），則（0，x₂）為含峰區(qū)間，若f（x₁）≤f（x₂），則（x₁，1）為含峰區(qū)間；
  （3）對給定的r（0＜r＜0.5），證明：存在x₁，x₂∈（0，1），滿足x₂-x₁≥2r,使得由（2）所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r.
  組卷：200引用：2難度：0.1

  解析