2022-2023學年安徽省合肥一中高一（下）期中數學試卷

一、單項選擇題（共8小題，每題5分，滿分40分）．

• 1．若復數z=a²-4+（a-2）i為純虛數，則實數a的值為（　　）

  A．2

  B．2或-2

  C．-2

  D．-4
  組卷：196引用：7難度：0.7

  解析
• 2．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a,b,c,且滿足c=2acosB，則△ABC的形狀是（　?。?/div>

  A．等腰三角形

  B．直角三角形

  C．等腰直角三角形

  D．等腰三角形或直角三角形
  組卷：1073引用：18難度：0.9

  解析
• 3．某圓錐的側面展開圖是半徑為3，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（　?。?/div>

  A． 4 5 π

  B． 4 5 3 π

  C． 2 2 π

  D． 2 2 3 π
  組卷：509引用：6難度：0.9

  解析
• 4．△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知

  A

  =

  π

  4

  ，

  a

  =

  2

  ，

  b

  =

  3

  ，則B的大小為（　?。?/div>

  A． π 6

  B． π 3

  C． π 6 或 5 π 6

  D． π 3 或 2 π 3
  組卷：92引用：4難度：0.7

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• 5．設點P為△ABC內一點．且2

  PA

  +2

  PB

  +

  PC

  =0，則S_△ABP：S_△ABC=（　?。?/div>

  A． 1 5

  B． 2 5

  C． 1 4

  D． 1 3
  組卷：1478引用：7難度：0.6

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• 6．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=2，AA₁=5，E為B₁C₁的中點，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為（　?。?/div>

  A． 5 10

  B． 34 34

  C． 13 26

  D． 13 13
  組卷：431引用：6難度：0.7

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• 7．在《九章算術》中，底面為矩形的棱臺被稱為“芻童”．已知棱臺ABCD-A′B′C′D′是一個側棱相等、高為1的“芻童”，其中AB=2A′B′=2，

  BC

  =

  2

  B

  ′

  C

  ′

  =

  2

  3

  ，則該“芻童”外接球的表面積為（　　）

  A．20π

  B． 20 3 π

  C． 20 5 3 π

  D． 5 5 π
  組卷：191難度：0.5

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四、解答題（共6小題，其中第17題10分，其余各題12分，滿分70分）

• 21．合肥一中云上農舍有三處苗圃，分別位于圖中△ABC的三個頂點，已知

  AB

  =

  AC

  =

  20

  2

  m

  ，BC=40m.為了解決三個苗圃的灌溉問題，現要在△ABC區(qū)域內（不包括邊界）且與B，C等距的一點O處建立一個蓄水池，并鋪設管道OA、OB、OC．
  （1）設∠OBC=θ，記鋪設的管道總長度為ym,請將y表示為θ的函數；
  （2）當管道總長取最小值時，求θ的值．
  組卷：20引用：3難度：0.5

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• 22．數學史上著名的波爾約-格維也納定理：任意兩個面積相等的多邊形，它們可以通過相互拼接得到．它由法卡斯?波爾約（FarksBolyai）和保羅?格維也納（PaulGerwien）兩位數學家分別在1833年和1835年給出證明．現在我們來嘗試用平面圖形拼接空間圖形，使它們的全面積都與原平面圖形的面積相等：（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1、圖2），其中圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐；圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形（陰影部分），其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的

  1

  4

  ，有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底．
  
  （1）試比較圖1與圖2剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大?。?br />（2）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請仿照圖2設計剪拼方案，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明．
  組卷：13引用：2難度：0.5

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