2020-2021學(xué)年上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高三（下）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（1～6題每小題4分，7-12題每小題4分，本大題滿分54分）

• 1．已知A=（-∞，a]，B=[1，2]，且A∩B≠?，則實(shí)數(shù)a的范圍是
  組卷：412引用：5難度：0.9

  解析

• 2．直線ax+（a-1）y+1=0與直線4x+ay-2=0互相平行，則實(shí)數(shù)a=
  組卷：492引用：4難度：0.9

  解析

• 3．已知α∈（0，π），cosα=-

  3

  5

  ，則tan（α+

  π

  4

  ）=

  ．
  組卷：155引用：5難度：0.9

  解析

• 4．長(zhǎng)方體的對(duì)角線與過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)表面所成的角分別為α、β、γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=
  組卷：223引用：3難度：0.9

  解析

• 5．已知函數(shù)f（x）=

  - x 2 ， x ≥ 0

  2 - x - 1 ， x ＜ 0

  ，則f^-1[f^-1（-9）]=

  ．
  組卷：199引用：3難度：0.7

  解析

• 6．從集合{-1，1，2，3}隨機(jī)取一個(gè)為m,從集合{-2，-1，1，2}隨機(jī)取一個(gè)為n,則方程

  x

  2

  m

  +

  y

  2

  n

  =

  1

  表示雙曲線的概率為

  ．
  組卷：138引用：4難度：0.7

  解析

• 7．已知{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，且a₂，a₄，a₃成等差數(shù)列，則q=

  ．
  組卷：971引用：19難度：0.7

  解析

三.解答題（本大題滿分76分）

• 20．如果直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，稱該直線為橢圓的“切線”，已知橢圓C：

  x

  2

  2

  +

  y

  2

  =

  1

  ，點(diǎn)M（m,n）是橢圓C上的任意一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)M且是橢圓C的“切線”．
  （1）證明：過(guò)橢圓C上的點(diǎn)M（m,n）的“切線”方程是

  mx

  2

  +

  ny

  =

  1

  ；
  （2）設(shè)A、B是橢圓C長(zhǎng)軸上的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)M（m,n）不在坐標(biāo)軸上，直線MA、MB分別交y軸于點(diǎn)P、Q，過(guò)M的橢圓C的“切線”l交y軸于點(diǎn)D，證明：點(diǎn)D是線段PQ的中點(diǎn)；
  （3）點(diǎn)M（m,n）不在x軸上，記橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，判斷過(guò)M的橢圓C的“切線”l與直線MF₁、MF₂所成夾角是否相等？并說(shuō)明理由．
  組卷：326引用：2難度：0.5

  解析

• 21．已知函數(shù)f（x）=ax³+x-a（a∈R，x∈R），g（x）=

  x

  1

  -

  x

  3

  （x∈R）．
  （1）如果x=

  -

  3

  4

  2

  是關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
  （2）判斷g（x）在（

  -

  1

  ，

  -

  3

  4

  2

  ]和[

  -

  3

  4

  2

  ，

  1

  ）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
  （3）證明：函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)q,使得a=q+q⁴+q⁷+…+q^3n-2+…成立的充要條件是a

  ≥

  -

  3

  4

  3

  ．
  組卷：318引用：2難度：0.1

  解析