人教五四新版九年級(jí)（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（29）

一、解答題（共30小題）

• 1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=

  -

  1

  2

  x²+bx+c（b,c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．
  （1）如圖，若該拋物線過A，B兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
  （2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與AC交于另一點(diǎn)Q．
  （i）若點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
  （ii）取BC的中點(diǎn)N，連接NP，BQ．試探究

  PQ

  NP

  +

  BQ

  是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：2760引用：60難度：0.5

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• 2．如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點(diǎn)O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．
  （1）求拋物線的解析式．
  （2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．
  （3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對應(yīng)）
  
  組卷：566引用：54難度：0.5

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• 3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（3，4）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5）．
  （1）求此拋物線的解析式；
  （2）過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有什么位置關(guān)系，并給出證明；
  （3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：923引用：53難度：0.5

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• 4．如圖，已知二次函數(shù)y=（x-m）²-4m²（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
  （1）寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（坐標(biāo)用m表示）；
  （2）若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，求二次函數(shù)的解析式；
  （3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)以AB為直徑的⊙M與y軸交于C、D兩點(diǎn)，求CD的長．
  組卷：857引用：56難度：0.5

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• 5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，4），對稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為M，且DM=OC+OD．
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）設(shè)點(diǎn)P（x,y）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
  （3）在（2）的條件下，若經(jīng)過點(diǎn)P的直線PE與y軸交于點(diǎn)E，是否存在以O(shè)、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△OPD全等？若存在，請求出直線PE的解析式；若不存在，請說明理由．
  組卷：980引用：53難度：0.5

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• 6．如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)（不與O、B重合），過點(diǎn)P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  （3）過點(diǎn)A的直線將（2）中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說明平分平行四邊形面積的理由）
  
  組卷：753引用：58難度：0.5

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• 7．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2），交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A（-1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交于D．
  （1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo)；
  （2）在直線l上找點(diǎn)P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
  （3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點(diǎn)Q，使△BPQ是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
  組卷：1241引用：55難度：0.5

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• 8．如圖，拋物線y=-

  1

  8

  x²+mx+n經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)C在x軸的正半軸上．
  （1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
  （2）點(diǎn)E為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)E為邊在第一象限內(nèi)作正方形OEFG，當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在線段AC上時(shí)，求線段OE的長；
  （3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)平移的距離為t,正方形DEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，DG所在的直線與AC交于點(diǎn)N，連接DM，是否存在這樣的t,使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
  （4）在上述平移過程中，當(dāng)正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時(shí)，請直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；并求出當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？
  
  組卷：496引用：52難度：0.5

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• 9．如圖，拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于直線x=1對稱，與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，且AB=4，點(diǎn)D（2，

  3

  2

  ）在拋物線上，直線l是一次函數(shù)y=kx-2（k≠0）的圖象，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若直線l平分四邊形OBDC的面積，求k的值；
  （3）把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線與直線l交于M，N兩點(diǎn)，問在y軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸對稱？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：626引用：52難度：0.5

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• 10．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過點(diǎn)A、C、D作拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），與x軸的另一交點(diǎn)為E，連接CE，點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（3，0）、（0，4）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）已知拋物線的對稱軸l交x軸于點(diǎn)F，交線段CD于點(diǎn)K，點(diǎn)M、N分別是直線l和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接MN，當(dāng)線段MN恰好被BC垂直平分時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
  （3）在滿足（2）的條件下，過點(diǎn)M作一條直線，使之將四邊形AECD的面積分為3：4的兩部分，求出該直線的解析式．
  組卷：663引用：54難度：0.5

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一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為D，拋物線y=ax²-10ax+c經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)M在直線BC上．
  （1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
  （2）求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達(dá)式；
  （3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：547引用：54難度：0.5

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• 30．如圖，二次函數(shù)y=x²+bx-3b+3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過點(diǎn)（b-2，2b²-5b-1）．
  （1）求這條拋物線的解析式；
  （2）⊙M過A，B，C三點(diǎn)，交y軸于另一點(diǎn)D，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
  （3）連接AM，DM，將∠AMD繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩邊MA，MD與x軸，y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若△DMF為等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
  組卷：686引用：51難度：0.5

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