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2023-2024學(xué)年山東省青島市市南區(qū)超銀中學(xué)八年級(jí)（上）奇點(diǎn)計(jì)劃選拔數(shù)學(xué)試卷

發(fā)布：2024/8/20 1:0:1

一、選擇題（每題3分，共24分）

1．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，有如下五個(gè)結(jié)論：①AO⊥BC；②OD=OE；③△OEF是等邊三角形；④△OEF≌△CEF；⑤∠OEF=54°．則上列說法中正確的個(gè)數(shù)是（　?。?/div>
A．2 B．3 C．4 D．5
組卷：415引用：8難度：0.6
解析
2．對(duì)于實(shí)數(shù)a、b,定義符號(hào)min{a,b}為：當(dāng)a≥b時(shí)，min{a,b}=b；當(dāng)a＜b時(shí)，min{a,b}=a.例如：min{2，-1}=-1，若關(guān)于x的函數(shù)y=min{2x-1，-x+3}，則該函數(shù)的最大值是（　?。?/div>
A．1 B．
4
3
C．
5
3
D．2
組卷：240引用：3難度：0.6
解析
3．如圖，將△ABC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C'，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）
A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
組卷：907引用：12難度：0.6
解析
4．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上兩點(diǎn)，CF=BE，AE平分∠BAC，連接BF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M，點(diǎn)P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br />①△ABE≌△BCF；
②
AM
=
4
2
；
③PM+PN的最小值為
3
2
；
④三角形AGM的面積是
3
2
+
1
．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
組卷：86引用：1難度：0.5
解析
5．數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門理論．它滲透于我們的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材之中，其中整數(shù)的奇偶性也屬于數(shù)論研究?jī)?nèi)容的一部分，偶數(shù)與奇數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)為：奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)．有這樣一道關(guān)于整式運(yùn)算的試題：已知a,b,c為自然數(shù)，使得（a^b-b^c）（b^c-c^a）（c^a-a^b）=11713，請(qǐng)求出a,b,c的值．小明運(yùn)用整數(shù)的奇偶性進(jìn)行分析，得出以下結(jié)論：
①要使等式成立，則（a^b-b^c），（b^c-c^a），（c^a-a^b）三個(gè)因式均為奇數(shù)；
②可以求出a,b,c的1組解；
③可以求出a,b,c的6組解；
④沒有符合條件的自然數(shù)a,b,c.
以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
組卷：123引用：2難度：0.5
解析
6．化簡(jiǎn)
1
8
+
11
+
1
11
+
14
+
1
14
+
17
+
1
17
+
20
+
1
20
+
23
+
1
23
+
26
+
1
26
+
29
+
1
29
+
32
的結(jié)果是（　　）
A．1 B．
2
2
3
C．
2
2
D．
4
2
組卷：756引用：3難度：0.9
解析
7．10個(gè)人圍成一圈做游戲．游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想一個(gè)數(shù)，并把自己想的數(shù)告訴與他相鄰的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將與他相鄰的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來，若報(bào)出來的數(shù)如圖所示，則報(bào)出來的數(shù)是3的人心里想的數(shù)是（　　）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
組卷：1194引用：12難度：0.3
解析
8．已知關(guān)于x,y的方程組
x
-
3
y
=
4
-
t
x
+
y
=
3
t
，其中-3≤t≤1，給出下列結(jié)論：
①
x
=
1
y
=
-
1
是方程組的解；
②若x-y=3，則t=-2；
③若M=2x-y-t,則M的最小值為-3；
④若y≥-1時(shí)，則0≤x≤3；
其中正確的有（　?。?/div>
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
組卷：1014引用：4難度：0.4
解析

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三、解答題（每題8分，共40分）

24．《見微知著》讀到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜：從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、結(jié)論的重要方法．
閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入；（4）整體求和等．
例如：ab=1，求證：
1
1
+
a
+
1
1
+
b
=
1

證明：左邊=
1
1
+
a
+
1
1
+
b
=
ab
ab
+
a
+
1
1
+
b
=
b
1
+
b
+
1
1
+
b
=
1

波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)藤菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長(zhǎng)”類似問題，我們有更多的式子滿足以上特征：
閱讀材料二
基本不等式
a
+
b
2
≥
ab
（a＞0，b＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，它是解決最值問題的有力工具．
例如：在x＞0的條件下，當(dāng)x為何值時(shí)，
x
+
1
x
有最小值，最小值是多少？
解：∵x＞0，
1
x
＞
0
，∴
x
+
1
x
2
≥
x
?
1
x
=
1
=
1
，即
x
+
1
x
≥
2
，
當(dāng)且僅當(dāng)
x
=
1
x
，即x=1時(shí)，
x
+
1
x
有最小值，最小值為2，
請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解答下列問題：
（1）已知ab=1，求下列各式的值：
①
1
1
+
a
2
+
1
1
+
b
2
=
；
②
1
1
+
a
n
+
1
1
+
b
n
=
；
（2）若abc=1，求
5
a
ab
+
a
+
1
+
5
b
bc
+
b
+
1
+
5
c
ca
+
c
+
1
的值；
（3）已知長(zhǎng)方形的面積為9，求此長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的最小值；
（4）若正數(shù)a、b滿足ab=1，求
M
=
1
1
+
a
+
1
1
+
2
b
的最小值．
組卷：575引用：2難度：0.3
解析
25．問題提出
（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4．若點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)，則BP的最小值為
；
問題探究
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)P是邊AC上一點(diǎn)，試求PB+PE的最小值；
問題解決
（3）某市一濕地公園內(nèi)有一條四邊形ABCD型環(huán)湖路，如圖③所示．已知AD=2000米，CD=1000米，∠A=60°，∠B=90°，∠C=150°．為了進(jìn)一步提升服務(wù)休閑功能，滿足市民游園和健身需求，現(xiàn)要修一條由CE，EF，F(xiàn)C連接而成的步行景觀道，其中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此時(shí)BE，DF的長(zhǎng)．（路面寬度忽略不計(jì)）
組卷：1551引用：6難度：0.1
解析

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