2023-2024學年湖南省長沙市長郡中學高三（上）月考數學試卷（二）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．若集合A={x|x=4k-1，k∈N}，B={x|（x+1）（x-9）≤0}，則A∩B的元素個數為（　?。?/h2>

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  組卷：53引用：3難度：0.7

  解析

• 2．設a∈R，若復數

  1

  -

  i

  2023

  ai

  的虛部為3（其中i為虛數單位），則a=（　?。?/h2>

  A． - 1 3

  B．-3

  C． 1 3

  D．3
  組卷：119引用：8難度：0.8

  解析

• 3．已知非零向量

  a

  ，

  b

  滿足

  b

  =（

  3

  ，1），＜

  a

  ，

  b

  ＞=

  π

  3

  ，若（

  a

  -

  b

  ）⊥

  a

  ，則向量

  a

  在向量

  b

  方向上的投影向量為（　　）

  A． 1 4 b

  B． 1 2 b

  C． 3 2 b

  D． b
  組卷：472難度：0.7

  解析

• 4．設拋物線C：x²=2py的焦點為F，M（x,4）在C上，|MF|=5，則C的方程為（　?。?/h2>

  A．x2=4y

  B．x2=-4y

  C．x2=-2y

  D．x2=2y
  組卷：330難度：0.9

  解析

• 5．若函數f（x）=e^x-a+1-x在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍為（　?。?/h2>

  A．（-∞，-1]

  B．（-∞，1）

  C．[0，+∞）

  D．（-∞，1]
  組卷：83難度：0.6

  解析

• 6．直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩點，則“k=1”是“△OAB的面積為

  1

  2

  ”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分又不必要條件
  組卷：187引用：6難度：0.9

  解析

• 7．已知

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，且

  2

  cos

  2

  α

  =

  sin

  （

  α

  +

  π

  4

  ）

  ，則sin2α=（　?。?/h2>

  A． - 3 4

  B． 3 4

  C．-1

  D．1
  組卷：582引用：8難度：0.8

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  6

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  b

  ＞

  0

  ）

  的左右焦點分別為F₁，F₂，C是橢圓的中心，點M為其上的一點滿足|MF₁|?|MF₂|=5，|MC|=2．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）設定點T（t,0），過點T的直線l交橢圓C于P，Q兩點，若在C上存在一點A，使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定值，求t的范圍．
  組卷：173引用：4難度：0.2

  解析

• 22．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  alnx

  +

  1

  2

  x

  2

  -

  （

  a

  +

  1

  ）

  x

  +

  3

  2

  （

  a

  ≠

  0

  ）

  ．
  （1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
  （2）當a=1時，若f（x₁）+f（x₂）=0，求證：x₁+x₂≥2；
  （3）求證：對于任意n∈N^*都有

  2

  ln

  （

  n

  +

  1

  ）

  +

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  i

  -

  1

  i

  ）

  2

  ＞

  n

  ．
  組卷：578難度：0.1

  解析