2023年湖南省長(zhǎng)沙一中高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

• 1．已知集合A={x∈R|x²＜4}，B={x|3^x＜9}，則（　　）

  A．A∩B=B

  B．A∪B=R

  C．A∩B=A

  D．A∪B=A
  組卷：47引用：2難度：0.8

  解析

• 2．設(shè)

  a

  ∈

  R

  ，

  z

  =

  2

  +

  ai

  i

  ，則“a＞1”是“

  |

  z

  |

  ＞

  5

  ”的（　?。?/h2>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：267引用：6難度：0.9

  解析

• 3．天文計(jì)算的需要，促進(jìn)了三角學(xué)和幾何學(xué)的發(fā)展．10世紀(jì)的科學(xué)家比魯尼的著作《馬蘇德規(guī)律》一書(shū)中記錄了在三角學(xué)方面的一些創(chuàng)造性的工作．比魯尼給出了一種測(cè)量地球半徑的方法：先用邊長(zhǎng)帶有刻度的正方形ABCD測(cè)得一座山的高GT=h（如圖①），再于山頂T處懸一直圓環(huán)SP且可以轉(zhuǎn)動(dòng)的回環(huán)（如圖②），從山頂T處觀測(cè)地平線上的一點(diǎn)I，測(cè)得∠OTI=α．由此可以算得地球的半徑r=（　?。?/h2>

  A． hsinα 1 - sinα	B． hcosα 1 - sinα
  C． hsinα 1 - cosα	D． hcosα 1 - cosα
  組卷：75引用：3難度：0.7

  解析

• 4．已知函數(shù)f（x）的局部圖象如圖所示，則f（x）的解析式可以是（　?。?/h2>

  A．f（x）= e 1 | x | ?sin π 2 x	B．f（x）= e 1 | x | ?cos π 2 x
  C．f（x）=ln|x|?sin π 2 x	D．f（x）=ln|x|?cos π 2 x
  組卷：214引用：9難度：0.7

  解析

• 5．已知

  sin

  （

  α

  -

  π

  6

  ）

  +

  cosα

  =

  3

  5

  ，則

  cos

  （

  2

  α

  +

  π

  3

  ）

  =（　?。?/h2>

  A． - 7 25

  B． 7 25

  C． - 24 25

  D． 24 25
  組卷：1034引用：15難度：0.7

  解析

• 6．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  （

  ωx

  -

  π

  6

  ）

  （

  1

  ＜

  ω

  ＜

  2

  ）

  ，若存在x₁，x₂∈R，當(dāng)|x₁-x₂|=2π時(shí)，f（x₁）=f（x₂）=0，則函數(shù)f（x）的最小正周期為（　?。?/h2>

  A． 2 π 3

  B． 4 π 3

  C．2π

  D．4π
  組卷：110引用：2難度：0.7

  解析

• 7．設(shè)A，B是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且

  |

  OA

  |

  =

  2

  ．若存在m,n∈R，使得

  m

  AB

  +

  OA

  與

  n

  AB

  +

  OB

  垂直，且

  |

  （

  m

  AB

  +

  OA

  ）

  -

  （

  n

  AB

  +

  OB

  ）

  |

  =

  2

  ，則

  |

  AB

  |

  的最小值為（　?。?/h2>

  A．1

  B． 3

  C．2

  D． 2 3
  組卷：94引用：2難度：0.5

  解析

四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.

• 21．國(guó)球是指在一個(gè)國(guó)家內(nèi)廣泛開(kāi)展，并在國(guó)際上居于領(lǐng)先地位的球類運(yùn)動(dòng)，中國(guó)的國(guó)球是乒乓球，乒乓球起源于英國(guó)的19世紀(jì)末．長(zhǎng)沙市某社區(qū)為了豐富社區(qū)老人的退休生活，每年的重陽(yáng)節(jié)定期舉行乒乓球比賽．通過(guò)資格賽和淘汰賽，該社區(qū)的李大爺和張大爺進(jìn)入決賽爭(zhēng)奪冠軍，決賽采用五局三勝制，即選手率先獲得三局勝利時(shí)，比賽結(jié)束并贏得冠軍．根據(jù)以往李大爺和張大爺?shù)谋荣悇儇?fù)數(shù)據(jù)分析，李大爺和張大爺實(shí)力相當(dāng)，每局獲勝的可能性相同，每局比賽相互獨(dú)立．
  （1）求張大爺獲得乒乓球比賽冠軍的概率；
  （2）冠亞軍決賽結(jié)束后，社區(qū)組委會(huì)決定進(jìn)行趣味性和觀賞性極強(qiáng)的“花式乒乓球”對(duì)抗賽，“花式乒乓球”對(duì)抗賽由劉大爺和周大爺進(jìn)行比賽，比賽采用三局兩勝制，即選手率先獲得兩局勝利時(shí)，比賽結(jié)束并贏得冠軍．劉大爺和周大爺在一局比賽獲勝的概率分別為

  2

  3

  ，

  1

  3

  ，且每局比賽相互獨(dú)立．比賽開(kāi)始前，工作人員拿來(lái)兩盒新球，分別為“裝有2個(gè)白球與1個(gè)黃球”的白盒與“裝有1個(gè)白球與2個(gè)黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄，裁判按照如下規(guī)則取球：每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球，記兩位大爺決出冠軍后，兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
  組卷：110引用：2難度：0.5

  解析

• 22．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  e

  1

  -

  x

  -

  axlnx

  （

  a

  ＞

  1

  4

  ）

  ．
  （參考數(shù)據(jù)，e≈2.718，ln2=0.693）
  （1）證明：f（x）≤1-（a+1）lnx；
  （2）若f（x）≤3-2x,求實(shí)數(shù)a的取值的集合．
  組卷：50引用：2難度：0.5

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