2023-2024學年吉林省長春市農安縣高二（上）期中數學試卷

一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。

• 1．點（1，1）到直線x+y-1=0的距離為（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C． 2 2

  D． 2
  組卷：189引用：6難度：0.9

  解析

• 2．若直線l的一個方向向量為（-1，

  3

  ），則它的傾斜角為（　?。?/h2>

  A．30°

  B．60°

  C．120°

  D．150°
  組卷：498引用：26難度：0.8

  解析

• 3．在下列條件中，一定能使空間中的四點M，A，B，C共面的是（　　）

  A． OM = 2 OA - OB - OC	B． OM = 1 5 OA + 1 3 OB + 1 2 OC
  C． MA + 2 MB + MC = 0	D． OM + OA + OB + OC = 0
  組卷：500引用：11難度：0.7

  解析

• 4．若橢圓

  x

  2

  9

  +y²=1上一點A到焦點F₁的距離為2，B為AF₁的中點，O是坐標原點，則|OB|的值為（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：61難度：0.9

  解析

• 5．已知空間四面體ABCD的每條邊長都等于a,點E、F分別是BC、AD的中點，則

  AE

  ?

  AF

  的值為（　?。?/h2>

  A．a2

  B． 1 2 a2

  C． 1 4 a2

  D． 3 4 a2
  組卷：270難度：0.6

  解析

• 6．由倫敦著名建筑事務所Steyn Studio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數學與建筑完美結合造就的藝術品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）
  

  A．y=± 3 x

  B．y=± 3 3 x

  C．y=±x

  D．y=±2x
  組卷：192引用：10難度：0.7

  解析

• 7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

  CA

  =

  4

  2

  ，CB=4，∠BCA=90°，M是A₁B₁的中點，以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，若

  A

  1

  B

  ⊥

  C

  B

  1

  ，則異面直線CM與A₁B夾角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 3 7 14

  B． 2 7 7

  C． 7 3 14

  D． 2 3 7
  組卷：29難度：0.7

  解析

四、解答題：共6小題，共70分。

• 21．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=45°，M，N分別是棱BC，PC的中點，且AB=AC=PA．
  （1）證明：平面AMN⊥平面PAD．
  （2）求平面AMN與平面PAB所成二面角的正弦值．
  組卷：127引用：4難度：0.5

  解析

• 22．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）過點（1，

  3

  2

  ），且長軸長等于4．
  （Ⅰ）求橢圓C的方程；
  （Ⅱ）F₁，F₂是橢圓C的兩個焦點，⊙O是以F₁，F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓C交于不同的兩點A，B，若

  OA

  ?

  OB

  =-

  3

  2

  ，求k的值．
  組卷：1022引用：34難度：0.3

  解析