十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（v），面數(shù)（f），棱數(shù)（e）之間存在一個(gè)有趣的數(shù)量關(guān)系：v+f-e=2，這就是著名的歐拉定理．而正多面體，是指多面體的各個(gè)面都是形狀大小完全相同的正多邊形，雖然多面體的家族很龐大，可是正多面體的成員卻僅有五種，它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，那今天就讓我們來了解下這幾個(gè)立體圖形中的“天之驕子”：

（1）如圖1，正四面體共有

4

4

個(gè)頂點(diǎn)，

6

6

條棱．
（2）如圖2，正六面體共有

8

8

個(gè)頂點(diǎn)，

12

12

條棱．
（3）如圖3是某個(gè)方向看到的正八面體的部分形狀（虛線被隱藏），正八面體每個(gè)面都是正三角形，每個(gè)頂點(diǎn)處有四條棱，那么它共有

6

6

個(gè)頂點(diǎn)，

12

12

條棱．
（4）當(dāng)我們沒有正12面體的圖形時(shí)，我們可以根據(jù)計(jì)算了解它的形狀：
我們?cè)O(shè)正12面體每個(gè)面都是正n（n≥3）邊形，每個(gè)頂點(diǎn)處有m（m≥3）條棱，則共有12n÷2=6n條棱，有12n÷m=

12

n

m

個(gè)頂點(diǎn)．
歐拉定理得到方程：

12

n

m

+12-6n=2，且m,n均為正整數(shù)，
去掉分母后：12n+12m-6nm=2m,
將n看作常數(shù)移項(xiàng)：12m-6nm-2m=-12n,
合并同類項(xiàng)：（10-6n）m=-12n,
化系數(shù)為1：m=

-

12

n

10

-

6

n

=

12

n

6

n

-

10

，
變形：

m

=

12

n

6

n

-

10

=

12

n

-

20

+

20

6

n

-

10

=

12

n

-

20

6

n

-

10

+

20

6

n

-

10

=

2

（

6

n

-

10

）

6

n

-

10

+

20

6

n

-

10

=

2

+

20

6

n

-

10

．
分析：m（m≥3），n（n≥3）均為正整數(shù)，所以

20

6

n

-

10

是正整數(shù)，所以n=5，m=3，即6n=30，

12

n

m

=

20

．
因此正12面體每個(gè)面都是正五邊形，共有30條棱，20個(gè)頂點(diǎn)．
請(qǐng)依據(jù)上面的方法或者根據(jù)自己的思考得出：正20面體共有

30

30

條棱；

12

12

個(gè)頂點(diǎn)．