2023-2024學(xué)年北京171中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題4分，共40分）

• 1．圓x²+y²-2x+4y+3=0的圓心坐標(biāo)為（　　）

  A．（-2，4）

  B．（2，-4）

  C．（1，-2）

  D．（-1，2）
  組卷：147引用：11難度：0.9

  解析

• 2．若直線l₁：x-y+1=0與l₂：x+ay-1=0垂直，則實(shí)數(shù)a=（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．-1
  組卷：59引用：2難度：0.9

  解析

• 3．若橢圓

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  =

  1

  上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為6，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（　?。?/h2>

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  組卷：75引用：8難度：0.7

  解析

• 4．已知空間向量

  m

  =（3，1，3），

  n

  =（-1，λ，-1），且

  m

  ∥

  n

  ，則實(shí)數(shù)λ=（　　）

  A．- 1 3

  B．-3

  C． 1 3

  D．6
  組卷：1165引用：11難度：0.8

  解析

• 5．已知直線ax+y-2+a=0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a=（　?。?/h2>

  A．1

  B．-1

  C．-2或1

  D．2或1
  組卷：990引用：27難度：0.7

  解析

• 6．直線y=x-b與曲線

  x

  =

  4

  -

  y

  2

  有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（　?。?/h2>

  A． { - 2 2 ， 2 2 }

  B． （ - 2 ， 2 ] ∪ { 2 2 }

  C． [ - 2 ， 2 2 ） ∪ { 2 2 }

  D． [ - 2 ， 2 ） ∪ { 2 2 }
  組卷：290引用：6難度：0.5

  解析

• 7．已知四面體A-BCD的所有棱長都等于2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD靠近C的四等分點(diǎn)，則

  EF

  ?

  AC

  等于（　?。?/h2>

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C． - 5 2

  D． 5 2
  組卷：236引用：8難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共6小題，滿分85分）

• 20．已知橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其中右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），該橢圓的離心率為

  1

  2

  ．
  （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）已知點(diǎn)P（1，t）為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)F₂的直線l與橢圓交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若△PAB的面積是

  9

  2

  7

  ，求直線l的方程．
  組卷：104引用：1難度：0.5

  解析

• 21．“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段|AB|是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用d（A，B）表示，又稱“曼哈頓距離”，即d（A，B）=|AC|+|CB|，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則d（A，B）=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．
  （1）①點(diǎn)A（3，5），B（2，-1），求d（A，B）的值．
  ②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．
  （2）已知點(diǎn)B（1，0），直線2x-y+2=0，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；
  （3）設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為A_i=（x_i，y_i，z_i），i=1，2，3，4，且x_i，y_i，z_i∈{0，1}．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即

  d

  ，求

  d

  最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo)．
  組卷：243引用：5難度：0.3

  解析