2022-2023學年福建省廈門一中海滄校區(qū)高一（下）月考數學試卷（6月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．若復數z₁，z₂在復平面內對應的點關于x軸對稱，且z₁=1+i,則復數

  z

  2

  z

  1

  =（　　）

  A．1

  B．-1

  C．i

  D．-i
  組卷：100引用：6難度：0.7

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• 2．為了提高學習興趣，某數學老師把《九章算術》與《孫子算經》這兩本數學著作推薦給學生進行課外閱讀，若該班甲、乙兩名同學每人至少閱讀其中的一本，則每本書都被同學閱讀的概率為（　?。?/div>

  A． 2 9

  B． 1 3

  C． 2 3

  D． 7 9
  組卷：26難度：0.7

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• 3．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則下列說法正確的是（　?。?/div>

  A．A與B互為對立事件	B．P（A）=P（B）
  C．A與B相等	D．A與B互斥
  組卷：430難度：0.7

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• 4．為了解“雙減”政策實施后學生每天的體育活動時間，研究人員隨機調查了該地區(qū)1000名學生每天進行體育運動的時間，按照時長（單位：分鐘）分成6組：第一組[30，40），第二組[40，50），第三組[50，60），第四組[60，70），第五組[70，80），第六組[80，90]，經整理得到如圖的頻率分布直方圖，則可以估計該地區(qū)學生每天體育活動時間的第70百分位數位于的區(qū)間為（　?。?/div>

  A．[50，60）

  B．[60，70）

  C．[70，80）

  D．[80，90]
  組卷：33難度：0.7

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• 5．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a,b,c,cosA（2sinB-sinC）=sinAcosC，則A的值為（　?。?/div>

  A． π 6

  B． π 2

  C． π 3

  D． 2 π 3
  組卷：57引用：2難度：0.7

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• 6．在三角形ABC中，AB=7，BC=8，AC=9，AM和AN分別是BC邊上的高和中線，則

  MN

  ?

  BC

  =（　?。?/div>

  A．14

  B．15

  C．16

  D．17
  組卷：88引用：3難度：0.6

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• 7．已知平面向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  ．滿足|

  a

  |=2，|

  a

  -

  b

  |=2

  3

  ，若對于任意實數x都有|

  b

  -x

  a

  |≥|

  b

  -

  a

  |成立，且|

  c

  -

  a

  |≤1，則

  b

  ?

  c

  的最大值為（　?。?/div>

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  組卷：200引用：4難度：0.5

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四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，△PAC為正三角形，E，F(xiàn)分別是PC，PB上的動點．
  （1）求證：BC⊥AE；
  （2）若E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點且異面直線AF與BC所成角的正切值為

  3

  2

  ，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l,點Q為直線l上動點，求直線PQ與平面AEF所成角的取值范圍．
  組卷：266引用：8難度：0.6

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• 22．十字測天儀廣泛應用于歐洲中世紀晚期的航海領域，主要用于測量太陽等星體的方位，便于船員確定位置．如圖1所示，十字測天儀由桿AB和橫檔CD構成，并且E是CD的中點，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動．十字測天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測天儀，使得眼睛可以從A點觀察．滑動橫檔CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時視線恰好經過點D，DE的影子恰好是AE．然后，通過測量AE的長度，可計算出視線和水平面的夾角∠CAD（稱為太陽高度角），最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置．
  
  （1）若在某次測量中，橫檔CD的長度為20，測得太陽高度角∠CAD=60°，求影子AE的長；
  （2）若在另一次測量中，AE=40，橫檔CD的長度為20，求太陽高度角的正弦值；
  （3）在桿AB上有兩點A₁，A₂滿足AA₁=

  1

  2

  A

  A

  2

  ．當橫檔CD的中點E位于A_i時，記太陽高度角為a_i（i=1，2），其中α₁，α₂都是銳角．證明：α₁＜2α₂．
  組卷：70引用：5難度：0.5

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