十字測天儀廣泛應(yīng)用于歐洲中世紀(jì)晚期的航海領(lǐng)域,主要用于測量太陽等星體的方位,便于船員確定位置.如圖1所示,十字測天儀由桿AB和橫檔CD構(gòu)成,并且E是CD的中點,橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動.十字測天儀的使用方法如下:如圖2,手持十字測天儀,使得眼睛可以從A點觀察.滑動橫檔CD使得A,C在同一水平面上,并且眼睛恰好能觀察到太陽,此時視線恰好經(jīng)過點D,DE的影子恰好是AE.然后,通過測量AE的長度,可計算出視線和水平面的夾角∠CAD(稱為太陽高度角),最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置.
(1)若在某次測量中,橫檔CD的長度為20,測得太陽高度角∠CAD=60°,求影子AE的長;
(2)若在另一次測量中,AE=40,橫檔CD的長度為20,求太陽高度角的正弦值;
(3)在桿AB上有兩點A
1,A
2滿足AA
1=
.當(dāng)橫檔CD的中點E位于A
i時,記太陽高度角為a
i(i=1,2),其中α
1,α
2都是銳角.證明:α
1<2α
2.