2021-2022學(xué)年上海交大附中高一（上）開學(xué)數(shù)學(xué)考試

一、填空題（本大題滿分54分，前6題每題4分，后6題每題5分，填錯(cuò)或不填在正確的位置一律得零分）

• 1．已知：點(diǎn)A（-1，a）、B（1，b）在反比例函數(shù)

  y

  =

  -

  3

  x

  的圖像上，則a

  b（用“＞”、“=”、“＜”填）．
  組卷：11引用：1難度：0.9

  解析

• 2．若關(guān)于x的不等式

  x

  -

  a

  x

  +

  1

  ＞

  0

  的解集為（-∞，-1）∪（4，+∞），則實(shí)數(shù)a=

  ．
  組卷：346引用：7難度：0.9

  解析

• 3．在△ABC和△A'B'C'中，

  AB

  A

  ′

  B

  ′

  =

  BC

  B

  ′

  C

  ′

  =

  CA

  C

  ′

  A

  ′

  =

  3

  5

  ，且AB+BC+CA=24cm,則△A'B'C'的周長(zhǎng)=

  cm.
  組卷：3引用：1難度：0.7

  解析

• 4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD為⊙O的直徑，AD=6，則AB等于

  ．
  組卷：16引用：1難度：0.8

  解析

• 5．把有理數(shù)a代入|a+4|-10得到a₁，稱為第一次操作，再將a₁作為a的值代入得到a₂，稱為第二次操作，…，若a=23，經(jīng)過(guò)第2021次操作后得到的是

  ．
  組卷：4引用：1難度：0.7

  解析

• 6．集合P={x|x²+x-6=0}，Q={x|mx-1=0}，且Q?P，則實(shí)數(shù)m的取值集合為

   

  ．
  組卷：38引用：1難度：0.9

  解析

• 7．若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命題，則x的取值范圍是

  ．
  組卷：244引用：38難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題滿分76分）解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要步驟.

• 20．交中的新生小明同學(xué)非常喜歡數(shù)學(xué)，他在課外書上看到了一個(gè)有趣的定理——“中線長(zhǎng)定理”：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，“中線長(zhǎng)定理”即AB²+AC²=2AD²+2BD²．小明嘗試對(duì)它進(jìn)行證明，部分過(guò)程如下：
  解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖2，在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
  同理可得：AC²=AE²+CE²，AD²=AE²+DE²，
  為證明的方便，不妨設(shè)BD=CD=x,DE=y,
  ∴AB²+AC²=AE²+BE²+AE²+CE²=……
  （1）請(qǐng)你完成小明剩余的證明過(guò)程；
  理解運(yùn)用：
  （2）①在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，AB=6，AC=4，BC=8，則AD=

  ；
  ②如圖3，⊙O的半徑為6，點(diǎn)A在圓內(nèi)，且

  OA

  =

  2

  2

  ，點(diǎn)B和點(diǎn)C在⊙O上，且∠BAC=90°，點(diǎn)E、F分別為AO，BC的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為

  ；
  拓展延伸：
  （3）小明解決上述問(wèn)題后，聯(lián)想到某課外書上的某題目：如圖4，已知⊙O的半徑為

  5

  5

  （圓心為原點(diǎn)O），以A（-3，4）為直角頂點(diǎn)的△ABC的另兩個(gè)頂點(diǎn)B，C都在⊙O上，D為BC的中點(diǎn)，求AD長(zhǎng)的最大值．請(qǐng)你利用上面的方法和結(jié)論，求出AD長(zhǎng)的最大值．
  組卷：51引用：1難度：0.4

  解析

• 21．已知集合A為非空數(shù)集，定義：S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a-b|，a,b∈A}．
  （1）若集合A={1，3}，直接寫出集合S，T（無(wú)需寫計(jì)算過(guò)程）；
  （2）若集合A={x₁，x₂，x₃，x₄}，x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且T=A，求證：x₁+x₄=x₂+x₃；
  （3）若集合A?{x|0≤x≤2021，x∈N}，S∩T=?，記|A|為集合A中元素的個(gè)數(shù)，求|A|的最大值．
  組卷：102引用：5難度：0.6

  解析