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2013年4月全國100所名校單元測(cè)試示范卷數(shù)學(xué)（一）推理與證明

發(fā)布：2024/4/20 14:35:0

一.選擇題（每小題5分，共150分）

  • 1．給出下列三個(gè)等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），
    f
    （
    x
    +
    y
    ）
    =
    f
    （
    x
    ）
    +
    f
    （
    y
    ）
    1
    -
    f
    （
    x
    ）
    f
    （
    y
    ）
    ．下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是（　　）
    組卷：1075引用：19難度：0.9
  • 2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（　?。?/div>
    組卷：129引用：13難度：0.9
  • 3．對(duì)于不等式
    n
    2
    +
    n
    ＜n+1（n∈N*），某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：
    （1）當(dāng)n=1時(shí)，
    1
    2
    +
    1
    ＜1+1，不等式成立．
    （2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，不等式成立，即
    k
    2
    +
    k
    ＜k+1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，
    （
    k
    +
    1
    ）
    2
    +
    （
    k
    +
    1
    ）
    =
    k
    2
    +
    3
    k
    +
    2
    ＜
    （
    k
    2
    +
    3
    k
    +
    2
    ）
    +
    （
    k
    +
    2
    ）
    =
    （
    k
    +
    2
    ）
    2
    =（k+1）+1，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
    則上述證法（　?。?/div>
    組卷：215引用：31難度：0.9
  • 4．設(shè)a,b,c,d,m,n均為正實(shí)數(shù)，p=
    ab
    +
    cd
    ，q=
    ma
    +
    nc
    ?
    b
    m
    +
    d
    n
    ，那么（　?。?/div>
    組卷：52引用：1難度：0.9
  • 5．已知
    2
    +
    2
    3
    =
    2
    2
    3
    ，
    3
    +
    3
    8
    =
    3
    3
    8
    ，
    4
    +
    4
    15
    =
    4
    4
    15
    ，…，若
    6
    +
    n
    m
    =
    6
    n
    m
    （m,n均為正實(shí)數(shù)），根據(jù)以上等式，可推測(cè)m,n的值，則m+n等于（　?。?/div>
    組卷：34引用：2難度：0.7
  • 6．觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則72011的末兩位數(shù)字為（　?。?/div>
    組卷：1001引用：26難度：0.7
  • 7．先閱讀下面的文字：“求
    1
    +
    1
    +
    1
    +
    …
    的值時(shí)，采用了如下方法：令
    1
    +
    1
    +
    1
    +
    …
    =x,則有x=
    1
    +
    x
    ，兩邊同時(shí)平方，得1+x=x2，解得x=
    1
    +
    5
    2
    （負(fù)值已舍去）”可用類比的方法，求得1+
    1
    2
    +
    1
    1
    +
    1
    2
    +
    …
    的值等于（　?。?/div>
    組卷：67引用：3難度：0.7

三.解答題（共6小題，共75分）

  • 20．（1）如圖①、②、③、④為四個(gè)平面圖，數(shù)一數(shù)，每個(gè)平面圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？它們把平面分成了多少個(gè)區(qū)域？請(qǐng)將結(jié)果填入下表中：
    菁優(yōu)網(wǎng)
    頂點(diǎn)邊數(shù)區(qū)域數(shù)
    ①
    ②
    ③
    ④
    （2）觀察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)V，邊數(shù)E，區(qū)域數(shù)F之間有什么關(guān)系；
    （3）現(xiàn)已知某個(gè)平面圖形有999個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)平面圖形的邊數(shù)．
    組卷：35引用：3難度：0.5
  • 21．（1）已知：a,b,x均為正數(shù)，且a＞b,求證：1＜
    a
    +
    x
    b
    +
    x
    ＜
    a
    b
    ；
    （2）若a,b,x均為正數(shù)，且a＜b,對(duì)真分?jǐn)?shù)
    a
    b
    ，給出類似于第（1）小問的結(jié)論；（不需證明）
    （3）求證：△ABC中，
    sin
    A
    sin
    B
    +
    sin
    C
    +
    sin
    B
    sin
    C
    +
    sin
    A
    +
    sin
    C
    sin
    A
    +
    sin
    B
    ＜2．
    組卷：24引用：4難度：0.5
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