2023-2024學(xué)年上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（共40分，每小題4分，答案正確得4分，否則不得分）

• 1．若A∈α，A∈β，且α∩β=l,則A

  l.（用集合符號(hào)表示）
  組卷：70引用：2難度：0.9

  解析

• 2．已知圓錐底面半徑為2，母線長(zhǎng)為3，則圓錐的表面積為

  ．
  組卷：55引用：2難度：0.7

  解析

• 3．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m?α．“m∥β”是“α∥β”的

   

  ．
  組卷：46引用：4難度：0.5

  解析

• 4．設(shè)x、y∈R，向量

  a

  =

  （

  x

  ,

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  y

  ,

  1

  ）

  ，

  c

  =

  （

  2

  ，-

  4

  ，

  2

  ）

  ，且

  a

  ⊥

  c

  ，

  b

  ∥

  c

  ，則x+y的值為

  ．
  組卷：185引用：8難度：0.8

  解析

• 5．如圖的四面體OABC中，所有棱長(zhǎng)均相等，每個(gè)面都是全等的正三角形，M，N分別是棱OA，BC的中點(diǎn)，則直線OA與平面CMN所成角的大小為

  ．
  組卷：85引用：3難度：0.6

  解析

• 6．把長(zhǎng)和寬分別為6和3的矩形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，則該圓柱的體積為

  ．
  組卷：72引用：3難度：0.7

  解析

四、附加題（共20分，要求寫出必要的解答或證明步驟）

• 19．如圖，直線AQ⊥平面α，直線AQ⊥平行四邊形ABCD，四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)P在平面α上，

  AB

  =

  7

  ，

  AD

  =

  3

  ，AD⊥DB，AC∩BD=O，OP∥AQ，AQ=2，M，N分別是AQ與CD的中點(diǎn)．
  （1）求證：MN∥平面QBC；
  （2）求二面角M-CB-Q的余弦值．
  組卷：31引用：4難度：0.4

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• 20．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分別以AC，CE，EA為軸將△ACH，△CEJ，△EAK分別向上翻轉(zhuǎn)180°，使H，J，K三點(diǎn)重合為點(diǎn)S所圍成的曲頂多面體（下底面開(kāi)口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于2π減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是

  π

  3

  ，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為

  2

  π

  -

  3

  ×

  π

  3

  =

  π

  ．
  
  （1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
  （2）若正六棱柱底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，設(shè)BH=x
  （i）用x表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積S（x）；
  （ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)S的曲率的余弦值．
  組卷：137引用：5難度：0.4

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