2023-2024學年上海二中高三（上）期中數學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．若扇形的半徑為2，弧長為3，則扇形的面積為

  ．
  組卷：168引用：7難度：0.8

  解析

• 2．已知集合M={x|x（x-5）≤6}，

  N

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  x

  }

  ，則M∩N=

  ．
  組卷：19難度：0.8

  解析

• 3．設函數y=f（x）在x=x₀處導數存在，若

  lim

  h

  →

  0

  f

  （

  x

  0

  ）

  -

  f

  （

  x

  0

  -

  h

  ）

  h

  =

  6

  ，則f′（x₀）=

  ．
  組卷：63引用：3難度：0.8

  解析

• 4．若

  α

  ∈

  （

  π

  2

  ，

  π

  ）

  ，

  cos

  （

  π

  -

  α

  ）

  =

  3

  5

  ，則tanα=

  ．
  組卷：164引用：7難度：0.9

  解析

• 5．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n,則a_n=

   

  ．
  組卷：108引用：7難度：0.5

  解析

• 6．將函數f（x）=sinx的圖像向右平移

  π

  6

  個單位，再把所得函數圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的

  1

  2

  倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖像，則g（x）的單調遞減區(qū)間為

  ．
  組卷：144引用：6難度：0.6

  解析

• 7．已知無窮等比數列{a_n}，

  +

  ∞

  ∑

  i

  =

  1

  a

  i

  =

  3

  ，

  +

  ∞

  ∑

  i

  =

  1

  a

  2

  i

  =

  9

  2

  ，則公比q=

  ．
  組卷：166難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，第17-18題每題14分，第19-20題每題16分，第21題18分）

• 20．已知無窮數列{a_n}（a_n∈Z）的前n項和為S_n，記S₁，S₂，…，S_n中奇數的個數為b_n．
  （1）若a_n=|n-2|，請寫出數列{b_n}的前5項；
  （2）求證：“a₁為奇數，a_i（i=2，3，4，…）為偶數”是“數列{b_n}是嚴格增數列的充分不必要條件；
  （3）若a_i=b_i，i=2，3，…，求數列{a_n}的通項公式．
  組卷：55引用：4難度：0.2

  解析

• 21．若函數y=f（x）與y=g（x）滿足：對任意的x₁∈D，總存在唯一的x₂∈D，使f（x₁）g（x₂）=m成立，則稱y=f（x）是g（x）在區(qū)間D上的“m階伴隨函數”；當f（x）=g（x）時，則稱y=f（x）為區(qū)間D上的“m階自伴函數”．
  （1）判斷

  y

  =

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo

  g

  2

  （

  x

  2

  +

  1

  ）

  是否為區(qū)間

  [

  0

  ，

  7

  ]

  上的“2階自伴函數”？并說明理由；
  （2）若函數y=f（x）=4^x-1為區(qū)間

  [

  1

  2

  ，

  b

  ]

  上的“1階自伴函數”，求b的值；
  （3）若

  y

  =

  f

  （

  x

  ）

  =

  4

  x

  +

  2

  是y=g（x）=x²-2ax+a²-1在區(qū)間[0，2]上的“2階伴隨函數”，求實數a的取值范圍．
  組卷：18引用：2難度：0.5

  解析