2022-2023學年山東省青島二中高一（下）期中數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．若i（1-z）=-1，則z+

  z

  =（　?。?/h2>

  A．-2

  B．-1

  C．2

  D．1
  組卷：52引用：2難度：0.8

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• 2．已知m,n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（　　）

  A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β	B．n∥m,n⊥α?m⊥α
  C．m⊥α，m⊥n?n∥α	D．α∥β，m?α，n?β?m∥n
  組卷：201引用：8難度：0.6

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• 3．給出下列命題中，正確的命題是（　?。?/h2>

  A．底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直的棱柱是正四棱柱

  B．側棱都相等的棱錐是正棱錐

  C．底面是正方形，有兩個側面是矩形的棱柱是正四棱柱

  D．側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐
  組卷：24引用：1難度：0.7

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• 4．若向量

  a

  ，

  b

  滿足|

  a

  |=2，|

  b

  |

  =

  2

  3

  ，且

  a

  ?

  b

  =3，則向量

  b

  與

  b

  -

  a

  夾角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 3 2

  B． 2 5 9

  C． 7 2 16

  D． 3 30 20
  組卷：152引用：2難度：0.8

  解析

• 5．如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為2cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是（　　）cm.

  A．12

  B．16

  C． 4 （ 1 + 3 ）

  D． 4 （ 1 + 2 ）
  組卷：569引用：6難度：0.9

  解析

• 6．已知α∈（0，

  π

  2

  ），cos2α+2sin2α=1，則sinα=（　?。?/h2>

  A． 1 5

  B． 5 5

  C． 4 5

  D． 2 5 5
  組卷：210難度：0.7

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• 7．十七世紀法國數學家皮埃爾?德?費馬提出了一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”，在費馬問題中所求的點被稱為費馬點，對于每個給定的三角形都存在唯一的費馬點，當△ABC的三個內角均小于120°時，使得∠APB=∠BPC=∠APC=120°的點P為△ABC的費馬點．已知點E為等邊△MNQ的費馬點，且

  |

  MN

  |

  =

  6

  ，則

  EM

  ?

  EN

  +

  EM

  ?

  EQ

  +

  EN

  ?

  EQ

  =（　?。?/h2>

  A．-12

  B．-36

  C． - 12 3

  D．-18
  組卷：124引用：4難度：0.5

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四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=

  7

  ，

  PA

  =

  3

  ，∠ABC=120°，G為線段PC上的點．
  （1）證明：BD⊥面APC；
  （2）若G滿足PC⊥面BGD，求

  PG

  GC

  的值．
  組卷：196引用：1難度：0.8

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• 22．在路邊安裝路燈，燈柱AB與地面垂直（滿足∠BAD=90°），燈桿BC與燈柱AB所在平面與道路垂直，且∠ABC=120°，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知∠ACD=60°，路寬AD=12m.設燈柱高AB=h（m），∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）．
  （1）當θ=30°時，求四邊形ABCD的面積；
  （2）求燈柱的高h（用θ表示）；
  （3）若燈桿BC與燈柱AB所用材料相同，記此用料長度和為S，求S關于θ的函數表達式，并求出S的最小值．
  組卷：61難度：0.4

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