2023-2024學(xué)年北京五十七中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一．選擇題，每題4分，共計40分。

• 1．已知集合A={x|

  x

  +

  1

  4

  -

  x

  ≥0，x∈N}，B={0，1，2，3，4}，則（　?。?/div>

  A．A=B

  B．A?B

  C．B?A

  D．A∩B=B
  組卷：90引用：3難度：0.8

  解析
• 2．在平面直角坐標系xOy中，角α以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點

  （

  -

  3

  3

  ，

  6

  3

  ）

  ，則

  cos

  （

  π

  2

  +

  α

  ）

  =（　?。?/div>

  A． - 3 3

  B． 3 3

  C． - 6 3

  D． 6 3
  組卷：97引用：1難度：0.7

  解析
• 3．下列函數(shù)中，與函數(shù)y=

  x

  2

  3

  的奇偶性相同，且在（0，+∞）上有相同單調(diào)性的是（　?。?/div>

  A．y=x|x|

  B．y=2-|x+1|

  C．y= log 1 2 |x|

  D．y=ex+e-x
  組卷：62引用：3難度：0.6

  解析
• 4．函數(shù)f（x）=sin2x?tanx是（　?。?/div>

  A．奇函數(shù)，且最小值為0	B．奇函數(shù)，且最大值為2
  C．偶函數(shù)，且最小值為0	D．偶函數(shù)，且最大值為2
  組卷：586引用：5難度：0.7

  解析
• 5．在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v（km/s）和燃料的質(zhì)量M（kg）以及火箭（除燃料外）的質(zhì)量N（kg）間的關(guān)系為

  v

  =

  2

  ln

  （

  1

  +

  M

  N

  ）

  ．若火箭的最大速度為12km/s,則下列各數(shù)中與

  M

  N

  最接近的是（　?。?br />（參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…）

  A．200

  B．400

  C．600

  D．800
  組卷：392引用：2難度：0.7

  解析
• 6．如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)存在區(qū)間[a,b]，使f（x）在[a,b]上的值域是[2a,2b]，那么稱f（x）為“倍增函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=ln（e^x+m）為“倍增函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。?/div>

  A． （ - 1 4 ， + ∞ ）

  B． （ - 1 2 ， 0 ）

  C．（-1，0）

  D． （ - 1 4 ， 0 ）
  組卷：281引用：5難度：0.5

  解析
• 7．騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為

  3

  ，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形．設(shè)點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，

  AC

  ?

  BP

  的最大值為（　?。?/div>

  A．18

  B．24

  C．36

  D．48
  組卷：1148引用：15難度：0.5

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三.解答題：總分85分。

• 20．已知函數(shù)f（x）=aln（x-a）-

  1

  2

  x

  2

  +x（a＜0）．
  （1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
  （2）若-1＜a＜2（ln2-1），求證：函數(shù)f（x）只有一個零點x₀，且a+1＜x₀＜a+2；
  （3）當a=-

  4

  5

  時，記函數(shù)f（x）的零點為x₀，若對任意x₁，x₂∈[0，x₀]且x₂-x₁=1，都有|f（x₂）-f（x₁）|≥m成立，求實數(shù)m的最大值．（本題可參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，ln

  9

  4

  ≈0.8，ln

  9

  5

  ≈0.59）
  組卷：38引用：3難度：0.3

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• 21．已知A_n：a₁，a₂，?，a_n（n≥4）為有窮數(shù)列．若對任意的i∈{0，1，?，n-1}，都有|a_i+1-a_i|≤1（規(guī)定a₀=a_n），則稱A_n具有性質(zhì)P．設(shè)T_n={（i,j）||a_i-a_j|≤1，2≤j-i≤n-2，（i,j=1，2，?，n）．
  （Ⅰ）判斷數(shù)列A₄：1，0.1，-1.2，-0.5，A₅：1，2，2.5，1.5，2是否具有性質(zhì)P？若具有性質(zhì)P，寫出對應(yīng)的集合T_n；
  （Ⅱ）若A₄具有性質(zhì)P，證明：T₄≠?；
  （Ⅲ）給定正整數(shù)n,對所有具有性質(zhì)P的數(shù)列A_n，求T_n中元素個數(shù)的最小值．
  組卷：53引用：2難度：0.3

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