2022-2023學(xué)年山東省青島五十八中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

• 1．設(shè)

  e

  1

  ，

  e

  2

  是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是（　?。?/h2>

  A． e 1 + e 2 和  e 1 - 3 e 2	B． e 1 + 6 e 2 和 e 1 + e 2
  C． 3 e 1 - 4 e 2 和 6 e 1 - 8 e 2	D． e 1 + 2 e 2 和 2 e 1 - e 2
  組卷：207引用：7難度：0.8

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• 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P₁（1，3），P₂（4，0），且P是線段P₁P₂的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近P₁點(diǎn)），則向量

  OP

  =（　?。?/h2>

  A．（2，2）	B．（3，-1）
  C．（2，2）或（3，-1）	D．（2，2）或（3，1）
  組卷：92引用：2難度：0.8

  解析

• 3．將函數(shù)f（x）=cos（x+

  π

  6

  ）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

  1

  2

  倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的一個(gè)減區(qū)間是（　　）

  A．[- π 6 ， π 3 ]

  B．[- π 3 ， 5 π 3 ]

  C．[- π 6 ， 11 π 6 ]

  D．[- π 12 ， 5 π 12 ]
  組卷：187引用：9難度：0.9

  解析

• 4．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  cosx

  ?

  sin

  （

  x

  -

  π

  6

  ）

  ，則下列描述中正確的是（　?。?/h2>

  A．函數(shù)周期是2π

  B．x為銳角，函數(shù)最大值是 1 4

  C．直線 x = π 3 不是函數(shù)的一條對(duì)稱軸

  D．x為鈍角，函數(shù)沒有最小值
  組卷：95引用：3難度：0.6

  解析

• 5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（　　）
  （1）若A＞B，則sinA＞sinB
  （2）若A=30°，b=4，a=3．則△ABC有兩解
  （3）已知△ABC的外接圓的圓心為O，

  AB

  =

  3

  ，

  AC

  =

  2

  ，M為BC上一點(diǎn)，且有

  BM

  =

  2

  MC

  ，則

  AM

  ?

  AO

  =

  7

  6

  ．
  （4）若三角形ABC為斜三角形，則tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  A．1個(gè)

  B．2個(gè)

  C．3個(gè)

  D．4個(gè)
  組卷：51引用：2難度：0.5

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• 6．冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想．某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求．該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD，測(cè)得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算cos∠ACD的值（　　）
  

  A． 1 2

  B． 5 9

  C． 14 6

  D． 22 6
  組卷：69引用：4難度：0.5

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• 7．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2a（a＞0）的等邊三角形，P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則

  PA

  ?

  （

  PB

  +

  PC

  ）

  的值不可能是（　　）

  A．-a2

  B． - 3 2 a 2

  C． - 4 3 a 2

  D．-2a2
  組卷：48引用：4難度：0.6

  解析

四、解答題（寫出必要的解題過程，只寫結(jié)果不得分）

• 21．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx,稱向量

  p

  =（a,b）為f（x）的特征向量，f（x）為

  p

  的特征函數(shù)．
  （Ⅰ）設(shè)g（x）=2sin（π-x）+sin（

  3

  2

  π-x），求g（x）的特征向量；
  （Ⅱ）設(shè)向量

  p

  =（

  3

  ，1）的特征函數(shù)為f（x），求當(dāng)f（x）=

  6

  5

  且x∈（-

  π

  6

  ，

  π

  3

  ）時(shí)，sinx的值；
  （Ⅲ）設(shè)向量

  p

  =（-

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）的特征函數(shù)為f（x），記h（x）=f²（x）-

  1

  4

  ，若h（x）在區(qū)間[a,b]上至少有40個(gè)零點(diǎn)，求b-a的最小值．
  組卷：81引用：6難度：0.5

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• 22．后疫情時(shí)代，很多地方嘗試開放夜市地?cái)偨?jīng)濟(jì)，多個(gè)城市也放寬了對(duì)擺攤的限制．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者也順應(yīng)潮流準(zhǔn)備在商場(chǎng)門前擺地?cái)偅阎撋虉?chǎng)門前是一塊扇形區(qū)域，擬對(duì)這塊扇形空地AOB進(jìn)行改造．如圖所示，平行四邊形OMPN區(qū)域?yàn)轭櫩偷男菹^(qū)域，陰影區(qū)域?yàn)椤皵[地?cái)偂眳^(qū)域，點(diǎn)P在弧AB上，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在線段OA和線段OB上，且OA=90cm,

  ∠

  AOB

  =

  π

  3

  ．記∠POB=θ．
  （1）請(qǐng)寫出顧客的休息區(qū)域OMPN的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)θ為何值時(shí)，S取得最大值；
  （2）記

  OP

  =

  x

  OA

  +

  y

  OB

  ，若t=x+μy（μ＞0）存在最大值，求μ的取值范圍．
  組卷：81引用：6難度：0.2

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