2023-2024學年廣東省廣州市華南師大附中高三（上）開學數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的。

• 1．復數(shù)

  z

  =

  4

  i

  1

  +

  i

  ，則

  z

  的輻角主值為（　?。?/h2>

  A． π 4

  B． 7 π 4

  C． 3 π 4

  D． - π 4
  組卷：52引用：1難度：0.8

  解析

• 2．設集合M={x|x²+2x-3＜0，x∈Z}，則M的子集數(shù)量是（　?。?/h2>

  A．8

  B．7

  C．32

  D．31
  組卷：227引用：3難度：0.9

  解析

• 3．橢圓

  E

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，A是橢圓E上一點，當△F₁AF₂的面積取得最大值時，∠F₁AF₂=（　?。?/h2>

  A． π 6

  B． π 2

  C． π 3

  D． 2 π 3
  組卷：165引用：1難度：0.7

  解析

• 4．（x+7）⁵展開式中x³項的系數(shù)是（　?。?/h2>

  A．245

  B．10

  C．49

  D．490
  組卷：82引用：1難度：0.5

  解析

• 5．以下什么物體能被放進底面半徑為

  1

  2

  m

  ，高為

  3

  m

  的圓柱中（　?。?/h2>

  A．底面半徑為 3 4 m ，母線長為 10 4 m 的圓錐

  B．底面半徑為0.01m,高為1.9m的圓柱

  C．邊長為1m的立方體

  D．底面積為 3 2 m 2 ，高為1.5m的直三棱柱
  組卷：53引用：1難度：0.4

  解析

• 6．有下列一組數(shù)據(jù)：4 4 2 4 9 8 0 5 3，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（　?。?/h2>

  A．5.6

  B．5

  C．8

  D．6.2
  組卷：112引用：1難度：0.5

  解析

• 7．設數(shù)列{a_n}的通項公式為

  a

  n

  =

  1

  +

  2

  C

  1

  n

  +

  2

  2

  C

  2

  n

  +

  2

  3

  C

  3

  n

  +

  …

  +

  2

  n

  C

  n

  n

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ，其前n項和為S_n，則使S_n＞2023的最小的n是（　?。?/h2>

  A．5

  B．6

  C．7

  D．8
  組卷：53引用：4難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

• 21．已知橢圓

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的兩焦點分別為

  F

  1

  （

  -

  3

  ，

  0

  ）

  ，

  F

  2

  （

  3

  ，

  0

  ）

  ，A是橢圓E上一點，當

  ∠

  F

  1

  A

  F

  2

  =

  π

  3

  時，△F₁AF₂的面積為

  3

  3

  ．
  （1）求橢圓E的方程；
  （2）直線l₁：k₁x-y+2k₁=0（k₁＞0）與橢圓E交于M，N兩點，線段MN的中點為P，過P作垂直x軸的直線在第二象限交橢圓E于點S，過S作橢圓E的切線l₂，l₂的斜率為k₂，求k₁-k₂的取值范圍．
  組卷：35引用：1難度：0.5

  解析

• 22．記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足

  a

  1

  =

  1

  ，

  2

  S

  n

  -

  a

  n

  =

  n

  2

  ．
  （1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
  （2）數(shù)列{b_n}滿足

  b

  n

  =

  1

  a

  n

  ，證明對任意n∈N^*，

  ln

  （

  n

  +

  1

  ）

  +

  n

  2

  （

  n

  +

  1

  ）

  ＜

  b

  1

  +

  b

  2

  +

  b

  3

  +

  …

  +

  b

  n

  ≤

  ln

  （

  n

  ）

  +

  1

  ；
  （3）某鐵道線上共有84列列車運行，且每次乘坐到任意一列列車的概率相等，設隨機變量X為恰好乘坐一次全部列車所乘坐的次數(shù)，試估算

  E

  （

  X

  ）

  84

  的值（結(jié)果保留整數(shù)）．
  參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln7≈1.9459．
  組卷：64引用：2難度：0.5

  解析