湘教版必修3高考題單元試卷：第6章 立體幾何初步（06）

一、填空題（共3小題）

• 1．已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上．若球的體積為

  9

  π

  2

  ，則正方體的棱長(zhǎng)為

  ．
  組卷：1140引用：41難度：0.7

  解析
• 2．已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖、均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該球的表面積是

  ．
  組卷：472引用：18難度：0.7

  解析
• 3．如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是

  ．
  組卷：391引用：8難度：0.7

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二、解答題（共27小題）

• 4．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q、M、N分別是棱AB、AD、DD₁、BB₁、A₁B₁、A₁D₁的中點(diǎn)，求證：
  （Ⅰ）直線BC₁∥平面EFPQ；
  （Ⅱ）直線AC₁⊥平面PQMN．
  組卷：3423引用：23難度：0.5

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• 5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：
  （Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
  （Ⅱ）BE∥平面PAD；
  （Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．
  組卷：5987引用：56難度：0.3

  解析
• 6．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)
  （Ⅰ）證明：BC₁∥平面A₁CD；
  （Ⅱ）AA₁=AC=CB=2，AB=

  2

  2

  ，求三棱錐C-A₁DE的體積．
  組卷：8472引用：42難度：0.5

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• 7．如圖1，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF，其中BC=

  2

  2

  ．
  （1）證明：DE∥平面BCF；
  （2）證明：CF⊥平面ABF；
  （3）當(dāng)AD=

  2

  3

  時(shí)，求三棱錐F-DEG的體積V_F-DEG．
  組卷：2256引用：37難度：0.3

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• 8．如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，過(guò)A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)．求證：
  （1）平面EFG∥平面ABC；
  （2）BC⊥SA．
  組卷：3996引用：51難度：0.5

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• 9．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，且各棱長(zhǎng)均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A₁C₁的中點(diǎn)
  （Ⅰ）證明EF∥平面A₁CD；
  （Ⅱ）證明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
  （Ⅲ）求直線B₁C₁與平面A₁CD所成角的正弦值．
  組卷：4026引用：31難度：0.3

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• 10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
  （Ⅰ）當(dāng)正視方向與向量

  AD

  的方向相同時(shí)，畫出四棱錐P-ABCD的正視圖（要求標(biāo)出尺寸，并寫出演算過(guò)程）；
  （Ⅱ）若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM∥平面PBC；
  （Ⅲ）求三棱錐D-PBC的體積．
  組卷：1135引用：21難度：0.3

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二、解答題（共27小題）

• 29．如圖1，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如圖2折疊；折痕EF∥DC，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF⊥CF．
  （1）證明：CF⊥平面MDF；
  （2）求三棱錐M-CDE的體積．
  組卷：2347引用：29難度：0.1

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• 30．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABC，PA=2

  3

  ，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=

  π

  3

  ．
  （Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
  （Ⅱ）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積．
  組卷：529引用：40難度：0.3

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