2022-2023學(xué)年福建省泉州科技中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40分）

• 1．已知

  cosθ

  =

  2

  3

  ，則

  sin

  （

  2

  θ

  +

  π

  2

  ）

  =（　?。?/div>

  A． - 1 9

  B． 1 9

  C． - 8 9

  D． 8 9
  組卷：445引用：2難度：0.8

  解析
• 2．已知向量

  a

  =（2，4），

  b

  =（-1，1），則2

  a

  -

  b

  =（　?。?/div>

  A．（5，7）

  B．（5，9）

  C．（3，7）

  D．（3，9）
  組卷：3801引用：64難度：0.9

  解析
• 3．下列等式不成立的是（　?。?/div>

  A． cos 2 15 ° - sin 2 15 °= 3 2

  B． sin π 8 cos π 8 = 2 4

  C． 1 2 sin 40 ° + 3 2 cos 40 °= sin 70 °

  D． tan 15 °= 2 - 3
  組卷：59引用：1難度：0.6

  解析
• 4．為了得到函數(shù)

  y

  =

  cos

  （

  2

  x

  +

  π

  3

  ）

  的圖象，只要把y=cos2x的圖象上所有點(diǎn)（　?。?/div>

  A．向左平移 π 6 個(gè)單位長度	B．向右平移 π 6 個(gè)單位長度
  C．向左平移 π 3 個(gè)單位長度	D．向右平移 π 3 個(gè)單位長度
  組卷：47引用：2難度：0.7

  解析
• 5．已知單位向量

  a

  ，

  b

  滿足

  |

  2

  a

  -

  b

  |

  =

  2

  3

  a

  ?

  b

  ，則向量

  a

  ，

  b

  的夾角為（　?。?/div>

  A． 2 π 3

  B． π 2

  C． π 3

  D． π 4
  組卷：138引用：3難度：0.8

  解析
• 6．已知cos（α-β）=

  5

  5

  ，cos2α=

  10

  10

  ，α∈（0，

  π

  2

  ），β∈（0，π），且α＜β，則α+β=（　?。?/div>

  A． π 4

  B． 3 π 4

  C． 5 π 6

  D． 5 π 4
  組卷：188引用：2難度：0.8

  解析
• 7．如圖，已知兩個(gè)模都為10的向量

  OA

  ，

  OB

  ，它們的夾角為

  π

  2

  ，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，10為半徑的

  ?

  AB

  上運(yùn)動(dòng)，則

  CA

  ?

  CB

  的最小值為（　　）

  A． 100 - 100 2

  B．-100

  C． 100 2 - 100

  D． - 100 2
  組卷：124引用：4難度：0.6

  解析

四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 21．為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號(hào)召，農(nóng)民王大伯?dāng)M將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：
  △BNC區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，△CMA區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，△MNC區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘△MNC周圍筑起護(hù)欄．已知AC=40m,

  BC

  =

  40

  3

  m

  ，AC⊥BC，∠MCN=30°．
  （1）若AM=20m時(shí)，求護(hù)欄的長度（△MNC的周長）；
  （2）當(dāng)∠ACM為何值時(shí)，魚塘△MNC的面積最小，最小面積是多少？
  組卷：151引用：8難度：0.6

  解析
• 22．如圖，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
  （1）求|

  AB

  |；
  （2）已知點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，滿足

  AD

  =λ

  AB

  ，點(diǎn)E是邊CB上一點(diǎn)，滿足

  BE

  =λ

  BC

  ．
  ①當(dāng)λ=

  1

  2

  時(shí)，求

  AE

  ?

  CD

  ；
  ②是否存在非零實(shí)數(shù)λ，使得

  AE

  ⊥

  CD

  ？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：469引用：20難度：0.1

  解析