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2010年競(jìng)賽輔導(dǎo)：三角形四心競(jìng)賽講義

發(fā)布：2024/4/20 14:35:0

一、選擇題（共1小題，每小題4分，滿分4分）

1．設(shè)H為銳角△ABC的三條高AD、BE、CF的交點(diǎn)，若BC=a,AC=b,AB=c,則AH?AD+BH?BE+CH?CF等于（　?。?/div>
A．
1
2
（ab+bc+ca） B．
1
2
（a²+b²+c²）
C．
2
3
（ab+bc+ca） D．
2
3
（a²+b²+c²）
組卷：323引用：2難度：0.9
解析

二、解答題（共54小題，滿分0分）

2．已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分別是BC，AC，AB邊的垂直平分線，求證：XX′，YY′，
ZZ′相交于一點(diǎn)．
組卷：118引用：1難度：0.9
解析
3．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，任意延長(zhǎng)CA到P，再延長(zhǎng)AB到Q，使AP=BQ，
求證：△ABC的外心O與點(diǎn)A、P、Q四點(diǎn)共圓．
組卷：481引用：3難度：0.1
解析
4．如圖所示，在△ABC的大邊AB上取AN=AC，BM=BC，點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，求證：∠MPN=∠A+∠B．
組卷：97引用：1難度：0.9
解析
5．AB為半圓O的直徑，其弦AF、BE相交于Q，過(guò)E、F分別作半圓的切線得交點(diǎn)P，求證：PQ⊥AB．
組卷：152引用：1難度：0.9
解析
6．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分別是∠A，∠B，∠C的平分線，求證：AX，BY，CZ交于一點(diǎn)．
組卷：77引用：1難度：0.9
解析
7．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，有一個(gè)圓內(nèi)切于△ABC的外接圓，且與AB、AC分別相切于P、Q，求證：線段PQ的中點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心．
組卷：256引用：1難度：0.5
解析
8．如圖所示，I為△ABC的內(nèi)心，求證：△BIC的外心O與A、B、C四點(diǎn)共圓．
組卷：303引用：1難度：0.9
解析
9．在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，順次取△ABD，△ABC，△CDB、△CDA的內(nèi)心O₁，O₂，O₃，O₄．求證：四邊形O₁O₂O₃O₄是一個(gè)矩形．
組卷：147引用：1難度：0.9
解析
10．△ABC中，I是內(nèi)心，過(guò)I作DE直線交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求證：DE=DB+EC．
組卷：157引用：1難度：0.9
解析
11．已知：如圖，△ABC中，三邊上的高線分別是AX，BY，CZ，X，Y，Z為垂足，求證：AX，BY，CZ交于一點(diǎn)．
組卷：70引用：1難度：0.9
解析
12．設(shè)H是等腰三角形ABC的垂心．在底邊BC保持不變的情況下，讓頂點(diǎn)A至底邊BC的距離變小，問(wèn)這時(shí)乘積S_△ABC?S_△HBC的值變大？變??？還是不變？證明你的結(jié)論．
組卷：133引用：2難度：0.5
解析
13．求證：銳角三角形的垂心H必為其垂足三角形的內(nèi)心．
組卷：89引用：1難度：0.5
解析
14．如圖所示，已知△ABC的高AD、BE交于H，△ABC、△ABH的外接圓分別為⊙O和⊙O₁，求證：⊙O與⊙O₁的半徑相等．
組卷：251引用：1難度：0.5
解析
15．設(shè)G為△ABC的重心，D，E分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，如果S_△ABC=1，那么S_△GDE=
．
組卷：54引用：1難度：0.7
解析
16．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分別是BC，AC，AB邊上的中線，求證：AX，BY，CZ相交于一點(diǎn)G，并且AG：GX=2：1．
組卷：56引用：1難度：0.7
解析
17．已知G是△ABC的重心，過(guò)A、G的圓與BG切于G，CG的延長(zhǎng)線交圓于D，求證：AG²=GC?GD．
組卷：1121引用：2難度：0.1
解析
18．設(shè)G是等腰△ABC底邊上的高、AD與腰AC上的中線BE的交點(diǎn)．若AD=18，BE=15，則這個(gè)等腰三角形的面積為多少？
組卷：43引用：1難度：0.5
解析