2023-2024學(xué)年湖北省武漢市九所重點(diǎn)中學(xué)高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．設(shè)集合A={x|cosx=0}，B={y|y²-8y-20≤0}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為（　?。?/div>

  A．4

  B．5

  C．2

  D．0
  組卷：29引用：2難度：0.7

  解析
• 2．與

  （

  2

  ，-

  3

  ）

  垂直的單位向量是（　?。?/div>

  A． ± （ 3 5 ， 2 5 ）

  B． ± （ 2 5 ， 3 5 ）

  C． ± （ 10 5 ， 15 5 ）

  D． ± （ 15 5 ， 10 5 ）
  組卷：49引用：3難度：0.7

  解析
• 3．以下滿足|z（z+1）|＜3的虛數(shù)z是（　?。?/div>

  A． - 3 i

  B． - 5 1 + 2 i

  C． （ 1 + 2 i ） 2 2

  D． 2 1 - i
  組卷：16引用：1難度：0.8

  解析
• 4．多項(xiàng)式（ax+1）⁶的x²項(xiàng)系數(shù)比x³項(xiàng)系數(shù)多35，則其各項(xiàng)系數(shù)之和為（　?。?/div>

  A．1

  B．243

  C．64

  D．0
  組卷：322引用：8難度：0.5

  解析
• 5．在集合{2，3，4，5，6}的所有非空真子集中任選一個(gè)，其元素之和為偶數(shù)的概率是（　?。?/div>

  A． 3 5

  B． 7 15

  C． 1 2

  D． 8 15
  組卷：32引用：1難度：0.7

  解析
• 6．如圖，三棱臺(tái)ABC-A₁B₁C₁中，BC=AC，現(xiàn)在以下四項(xiàng)中選擇一個(gè)，可以證明AA₁=BB₁的條件有：①CC₁⊥AB；②A₁B₁=A₁C₁；③∠C₁CA=∠C₁CB；④∠A₁AC=∠B₁BC．（　?。?/div>

  A．4個(gè)

  B．3個(gè)

  C．2個(gè)

  D．1個(gè)
  組卷：29引用：1難度：0.5

  解析
• 7．拋物線C：y²=3x的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，其上兩點(diǎn)A，B滿足OA⊥OB；過O點(diǎn)作OC⊥AB于C，則|CF|的取值范圍是（　?。?/div>

  A．（0，3]

  B． [ 3 3 2 ， 9 4 ]

  C． （ 3 4 ， 9 4 ]

  D． （ 3 4 ， 3 ]
  組卷：136引用：1難度：0.5

  解析

四、解答題。本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟。

• 21．空間中的兩平行平面α與β之間的距離為4，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC，△A₁B₁C₁分別在平面α，β中，且它們中心的連線垂直于平面α；若 AA₁=BB₁=CC₁ 恒成立．
  （1）證明：AA₁，BB₁，CC₁兩兩夾角相等；
  （2）當(dāng)四面體ACC₁A₁ 的體積最大時(shí)，求（1）問中夾角的余弦值．
  組卷：45引用：1難度：0.3

  解析
• 22．雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  經(jīng)過點(diǎn)

  P

  （

  5

  2

  2

  ，

  3

  2

  2

  ）

  ，且點(diǎn)P到雙曲線C兩漸近線的距離之比為4：1．（1）求C的方程；
  （2）過點(diǎn)P作不平行于坐標(biāo)軸的直線 l₁ 交雙曲線于另一點(diǎn)Q，作直線l₂|l₁交C的漸近線于兩點(diǎn)A，B（A在第一象限），使|AB|=|PQ|，記l₁和直線QB的斜率分別為k₁，k₂．
  （i）證明：k₁?k₂是定值；
  （ii）若四邊形ABQP的面積為5，求 k₁-k₂．
  組卷：126引用：1難度：0.3

  解析